이 N 번째 주요 재발의 (in) 다루기 쉬움 증명

이전 질문에서 다음과 같이 , 나는 레크리에이션 수학의 문제로 리만 가설 을 가지고 놀았습니다 . 그 과정에서 나는 다소 흥미로운 재발에 이르렀고, 그 이름, 축소 및 소수 사이의 갭의 해결 가능성에 대한 다루기 쉬움에 대해 궁금합니다.

간결하게 말해서, 각 소수 사이 의 간격 을 이전 후보 소수 의 반복으로 정의 할 수 있습니다 . 예를 들어, 의 기본에 대한 다음 소수는 다음과 같습니다.$p_0 = 2$

$\qquad \displaystyle p_1 = \min \{ x > p_0 \mid -\cos(2\pi(x+1)/p_0) + 1 = 0) \}$

또는, 우리가 보는 바와 같이 이 밖으로 음모를 꾸미고 : $p_1 = 3$ .

각 후보 프라임 반복 평가 를 통해 $n$ 프라임에 대한 프로세스를 반복 할 수 있습니다 . 다음 프라임 p_2 를 얻고 싶다고 가정 해보십시오 $p_2$. 후보 기능은 다음과 같습니다.

$\qquad \displaystyle \begin{align} p_2 = \min\{ x > p_1 \mid f_{p_1}(x) + (&(-\cos(2\pi(x+1)/p_1) + 1) \\ \cdot &(-\cos(2\pi(x+2)/p_1) + 1)) = 0\} \end{align}$

어디:

$\qquad \displaystyle f_{p_1}(x) = -\cos(2\pi(x+1)/p_0) + 1$위와 같이 \ qquad \ displaystyle f_ {p_1} (x) =-\ cos (2 \ pi (x + 1) / p_0) + 1

각 구성 요소 함수는 정수 값에서만 0이된다는 것을 쉽게 알 수 있으며 삼각법 시스템의 맥락에서 덧셈과 곱셈의 속성을 활용하여 이것이 AND 및 XOR 모양의 관계를 영리하게 캡처하는 방법을 보여주는 것도 쉽습니다. 방정식.

재발은 다음과 같습니다.

$\qquad f_{p_0} = 0\\ \qquad p_0 = 2\\ \qquad \displaystyle f_{p_n}(x) = f_{p_{n-1}}(x) + \prod_{k=2}^{p_{n-1}} (-\cos(2\pi(x+k-1)/p_{n-1}) + 1)\\ \qquad \displaystyle p_n = \min\left\{ x > p_{n-1} \mid f_{p_n}(x) = 0\right\}$

... 모든 문제 는 다항식 시간으로이 함수에 대해 $\min$ 연산자를 평가할 수 있는지 여부에 달려 있습니다 . 이것은 실제로 에라토스테네스 체의 일반화입니다 .

재발을 보여주기 위해 파이썬 코드 작업하기 :

from math import cos,pi

def cosProduct(x,p):
    """ Handles the cosine product in a handy single function """
    ret = 1.0
    for k in xrange(2,p+1):
        ret *= -cos(2*pi*(x+k-1)/p)+1.0
    return ret

def nthPrime(n):
    """ Generates the nth prime, where n is a zero-based integer """

    # Preconditions: n must be an integer greater than -1
    if not isinstance(n,int) or n < 0:
        raise ValueError("n must be an integer greater than -1")

    # Base case: the 0th prime is 2, 0th function vacuous
    if n == 0:
        return 2,lambda x: 0

    # Get the preceding evaluation
    p_nMinusOne,fn_nMinusOne = nthPrime(n-1)

    # Define the function for the Nth prime
    fn_n = lambda x: fn_nMinusOne(x) + cosProduct(x,p_nMinusOne)

    # Evaluate it (I need a solver here if it's tractable!)
    for k in xrange(p_nMinusOne+1,int(p_nMinusOne**2.718281828)):
        if fn_n(k) == 0:
            p_n = k
            break

    # Return the Nth prime and its function
    return p_n,fn_n

간단한 예 :

>>> [nthPrime(i)[0] for i in range(20)]
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71]

문제는 수학적으로나 컴퓨터 과학자로 머리를 숙이고 있다는 것입니다. 특히, 내가 가진 능력이 아니다 푸리에 분석 정의와 함께, 균일 한 커버를 하거나 함께 복소 평면 일반적으로, 나는이 방법 중 하나를 평면 밖으로 걱정하고있어 잘못 하거나 숨 깁니다은 3SAT 문제의 숨어있는 공포 그 이르게을에 NP- 완전성.

따라서 여기에 세 가지 질문이 있습니다.

1. 위의 간결한 반복이 주어지면 다항식 시간과 공간에서 0의 위치를 ​​결정적으로 계산하거나 추정 할 수 있습니까?
2. 그렇다면 그렇지 않으면 폴리 타임 또는 폴리 스페이스 솔루션을 다루기 어려운 다른 하위 문제를 숨기고 있습니까?
3. 그리고 기적 (1)과 (2)에 의해이 재발을 만족시키기 위해 어떤 역동적 인 프로그래밍 개선이 이루어 졌습니까? 분명히 여러 함수를 통해 동일한 정수를 반복하는 것은 우아하지 않으며 매우 낭비입니다.

다음 논문은 PRIMES가 P에 있음을 보여줍니다 (2006 년 Gödel 상 수상).

http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/algebra/primality_v6.pdf

N 번째 소수 최소화 절차의 솔루션을 AKS PRIMES 알고리즘 (모듈로 빼기)으로 설정하여 반복 관계에 대한 다루기 쉬운 솔루션을 효과적으로 얻을 수 있습니다 (소수점 간격이 반복 관계에 의해 제공됨을 증명할 수있는 경우).

소스 코드는 인터넷에서 찾을 수 있습니다. 개인적으로 확인하지 않았기 때문에 여기를 가리 키지 않습니다.

그러나 모든 숫자를 확인하기 위해 의 상한이 여전히있을 수 있습니다 ...$\sqrt{n}$