Collatz 재귀는 얼마나 오래 실행됩니까?

다음 Python 코드가 있습니다.

def collatz(n):
    if n <= 1:
        return True
    elif (n%2==0):
        return collatz(n/2)
    else:
        return collatz(3*n+1)

이 알고리즘의 실행 시간은 무엇입니까?

시험:

경우 함수의 실행 시간을 나타낸다 . 그런 다음 대해 { T ( N은 ) = 1  에 대해  , N ≤ 1 T ( N ) = T ( N / 2 )  에 대한  N  짝수 T ( N ) = T ( 3 , N + 1 )  에 대한  N $T(n)$collatz(n)

$$\begin{cases} T(n)=1 \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) \text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$$

이 짝수 인 경우 은 일 것이라고 생각 하지만 일반적인 재발을 계산하는 방법은 무엇입니까?LG N $T(n)$$\lg n$$n$

이것은 Collatz 추측입니다-여전히 열린 문제입니다.
추측은이 시퀀스가 ​​모든 입력에 대해 중지된다는 증거입니다. 이는 해결되지 않았기 때문에이 런타임 반복 관계를 해결하는 방법을 모릅니다. 또한 전혀 멈추지 않을 수도 있습니다. 따라서 입증 될 때까지 실행 시간을 알 수 없으며 .$\infty$

당신은 코드를 올바르게 번역 . 재발을 해결하는 방법 에는 여러 가지 가 있습니다 .

그러나 현재 collatz까지도 모든 것이 정지 되는지는 현재 알려져 있지 않다 n. 그것의 주장은 Collatz 추측으로 알려져 있습니다 . 따라서이 재발에 대해 알려진 방법은 없습니다.

이 짝수 이면 은 이 될 것이라고 생각합니다.$T(n)$$\lg n$$n$

어떻게 요? 나는 당신이 당신의 주장이 올바른 생각하고 있다고 생각 합니다. 이것은이 재발이 기하 급수적으로 몇 가지 점을 조사 하여 까지 해결할 수있는 것이 아님 을 보여줍니다 ( 여기 참조 ).$n=2^k$$\Theta$

시간 복잡도 함수는

$$\begin{cases} T(n)= O(1) \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) + O(1) \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) + O(1)\text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$$

점근 적 시간 복잡성에 관심이 있다면 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\begin{cases} T(n)= 1 \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) + 1 \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) + 1\text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$$

모든 대해 결과 TM ( 정지 문제 참조 ) 조차 알려져 있지 않습니다 . 자연스럽게 우리가 매 마다 멈추는 지조차 모른다면 멈추는 데 걸린 시간을 측정 할 수 없습니다 . /math/2694/what-is-the-importance-of-the-collatz-conjecture 도 참조 하십시오 .$\langle M,1^n\rangle \in Halt$$n$$n$

Collatz 추측 은 Collatz가 1937 년에 제안한 매우 유명한 추측입니다. 많은 저명한 수학자들이이 추측을 해결하려고 노력하면서 거의 쓸모없는 데 많은 시간을 소비했습니다. 폴 에르 도스 (Paul Erdős)도 콜라 츠의 추측에 대해 말했다.

다른 답변에 함수의 세 번째 분기 즉, 의 경우 가 라는 사실을 추가하면 그 경우 함수가 더 큰 인스턴스에서 계산됩니다 ( 은 보다 낮음 ). 따라서 해당 계산 브랜치에서 수행해야 할 작업이 더 있습니다.$n$$odd$$n$$3n+1$

우리가 겪는 다른 재발 관계 (예를 들어, 병합 정렬 )의 경우 크기가 작은 인스턴스의 경우 문제를 하위 문제로 나누는 것을 따릅니다. 이러한 재귀는 기본 사례, 즉 알려진 또는 로 자연적으로 퇴화 합니다. 따라서 마스터 정리 와 같이 재귀 분석을위한 표준 수학 도구를 사용할 수 있습니다 .T ( 0 ) T ( 1 $T(n) = 2T(n/2) +n$$T(0)$$T(1)$

collatz 함수의 경우, 우리는 표준 수학적 재귀 도구를 사용하여 경우 결국 열화 될 것이라는 재귀를 직접 추론 할 수는 없습니다 . 이 주제는 문제점을 설명하는 재귀가 아니라 문제점 자체를보고 해결해야합니다.$3n+1$

n이 짝수이면 T (n) = T (n / 2) + 1입니다. 그러나 n / 2는 고르지 않을 가능성이 높으므로 거기에 붙어 있습니다.

당신이 배운 멋진 작은 규칙은 실제 문제에 직면하여 작동하지 않습니다. 그들은 벽돌 벽에 부딪쳐서 먼저 얼굴을 보았습니다. 자신에게 호의를 베풀고 수동으로 T (7)의 재귀를 따르십시오. 그러면 이것이 여전히 관련이 있다고 생각하는지 알려줍니다.

7이 짝수가 아니기 때문에 이것이 원래의 질문과 관련이 없다고 생각하면 : n이 홀수 일 때마다 T (n) = T (3n + 1), 3n + 1은 짝수이므로 T (n)이 로그인 경우 n이 짝수이면 n> 1이 홀수 일 때마다 log (3n + 1) + 1이됩니다.