나무 폭 및 포장

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내 질문은 약간 모호합니다. 그래프의 패킹 문제에 treewidth 개념을 적용 할 수 있는지 궁금합니다.

나는 이것에 대한 과거의 연구 작업에 대한 통찰력이나 언급에 기뻐할 것입니다 (그들이 어떤 관계라고 가정). 감사.

— 니힐
소스

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이 질문을 두 가지 방법으로 해석 할 수 있습니다.

1) 제한된 나무 폭 그래프에서 패킹 문제의 알고리즘 적 속성에 관해서, Courcelle 's Theorem은 $k$ 최대 트리 폭 그래프에서 선형 시간으로 Monadic Second Order Logic에서 표현할 수있는 문제를 최적으로 해결할 수 있습니다 $k$ 경계 트리 그래프의 알고리즘 속성에 대한 조사 는 예를 들어 http://dx.doi.org/10.1093/comjnl/bxm037 을 참조하십시오 . 많은 패킹 문제가 MSOL에서 공식화 될 수 있기 때문에, 독립 세트, 삼각형 패킹, 사이클 패킹, 고정 그래프의 패킹 버텍스 / 에지 분리 된 사본, 버텍스 분리 된 작은 모델 패킹을 포함하여 제한된 트리 폭 그래프에서 이러한 많은 문제의 다루기 쉬움을 증명합니다 고정 된 그래프 H 등의 그러나이 다루기 쉬움은 모든 MSOL 정의 문제로 확장되므로 포장에만 국한되지는 않습니다.

2) 패킹과 트리 폭 사이의 그래프-구조 관계와 관련하여 다음 사항이 흥미로울 수 있습니다. Robertson과 Seymour의 작업 덕분에 기능이 있음이 알려져 있습니다. $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 적어도 treewidth의 모든 그래프는 $f(r)$ 포함 $r \times r$ 마이너로서의 그리드 ( $f$ 시모어와 로버트슨은 나중에 토마스와 협력하여 개선했다. 현재 최고 한계에 대해서는 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895684710732 를 참조 하십시오 ). 따라서 구조가 있다면 $S$ 같은 많은 사본 $S$ 로 포장 될 수 있습니다 $r \times r$ 그리드 부, 다음 당신은 큰 treewidth의 모든 그래프는 $S$ . 예를 들어 $r \times r$ 그리드 (짝수 $r$ ) 포함 $(r/2)^2$ 정점 분리 된 사이클은 트리 폭의 그래프를 따릅니다. $f(r)$ 적어도 포함 $(r/2)^2$ 분리 사이클.

— 바트 얀센
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Bart 이것은 관련이 없을 수 있지만 그래프 재구성과 트리 너비 사이에 어떤 관계가 있습니까? 또한 교수진의 무료 버전에 대한 링크가 있습니까? (Bounded Treewidth의 그래프에 대한 조합 최적화)

— Saeed

트리 폭 용지는 Citeseer citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.107.2561 에서 사용 가능 합니다. 그래프 재구성과 관련하여 단일 정점을 삭제하여 얻은 모든 하위 그래프의 다중 집합을 고려할 때 원래 그래프를 재구성하려는 프로세스를 의미합니까? : 시바 Kintali 최근 그래프 재건 추측 treewidth 두에 대한 사실 여부의 문제로 보았다 것 같다 cstheory.stackexchange.com/questions/5155/... .

— Bart Jansen 2012

고마워 바트, 네 시바의 질문을 봅니다. 그러나 1 년 전에는 새로운 결과가 있을지도 모릅니다.

— Saeed

Shiva의 웹 사이트에는 "정규 그래프의 k- 트리 및 트리 재구성"및 "새로운 재구성 가능한 그래프 속성"이라는 주제에 대한 두 개의 원고가 "pdf 예정"이라는 메모와 함께 나열되어 있습니다 ( cs.princeton.edu/~kintali/#proprecon ). 최신 기술에 대해 문의하기 위해 직접 연락 할 수 있습니다.

— Bart Jansen

이 답변에 이어

r \times r

$r \times r$ 가와 라바 야시와 코바야시에 의해 그리드 마이너가 향상되었습니다

2^{O (r^{2} \log r)}

$2^{O(r^2\log r)}$ 에 dx.doi.org/10.4230/LIPIcs.STACS.2012.278 및 시무을 개선 항

2^{O (r \log r)}

$2^{O(r \log r)}$ 2012 년 8 월에

— 안드라스 살 라몬

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최대 독립 세트 문제는 패킹 문제 (패키지로 분리 된 별이라고 생각할 수 있음)이며 실행 시간에 대해 잘 알려진 알고리즘이 있습니다. $2^k \operatorname{poly(n)}$ 트리 폭이 최대 인 그래프 $k$ .

— 제인 에이치 코호 넨
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답변 해 주셔서 감사합니다. MIS 알고리즘을 알고 있습니다. MIS 외에도 다른 구조의 포장에 트리 폭의 개념이 적용 되었습니까? 또한 MIS를 별이없는 별들로 생각한다고 전적으로 확신하지는 않습니다. 이것에 대한 요점을 설명해 주시겠습니까? (어떤 별 구조를 포장하려고합니까? "별도 별"의 개념은 무엇입니까?)

— Nikhil

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답변을 게시 할 때 생각했던 것만 큼 간단하지 않습니다. "가장자리 분리 별 포장"이 더 적합하며, 배치 된 별의 크기는 최대한 커야합니다. 더 복잡한 패킹 문제에 트리 폭이 적용되는 것을 기억하지 못합니다.

— Janne H. Korhonen

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최대 독립 세트는 확실히 일반적인 용어에서 "패킹 문제"입니다. 패킹 문제의 다른 예는 최대 일치입니다. (그들은 정수 프로그램을 포장하는하며 LP 이완은 포장 LP입니다.)

— 유카 Suomela

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이 주제에 대한 훌륭한 참고 자료는 아래 Bruce Reed의 설문 조사 기사입니다.

리드, B. (1997). 트리 폭 및 엉킴 : 새로운 연결 측정 및 일부 응용 프로그램. 조합론 조사, 241, 87-162.

최근 논문 중 하나에서 트리 폭 분해 이론을 통해 그리드-소수 정리를 우회 할 수 있습니다. 아래의 용지를 참조하십시오.

대폭 그래프 분해 및 응용 프로그램 http://arxiv.org/abs/1304.1577

— 찬드라 체 쿠리
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이것은 또한 모호한 답변입니다. 경계 트리 폭 그래프에 대해서는 Erdos-Posa 정리와 유사한 이중성이 있습니다. 예를 들어, 작은 닫힘 그래프 클래스에 대한 Fedor V. Fomin, Saket Saurabh, Dimitrios M. Thilikos : Erdös-Pósa 특성 강화를 참조하십시오. 그래프 이론 저널 66 (3) : 235-240 (2011)

— R2-D2
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