부분 집합 합계 또는 NPP에 대한 정수 관계 감지?

정수 관계에 대한 (작은) 솔루션이 답을 얻을 수 있도록 부분 집합 합 또는 숫자 분할 문제의 인스턴스를 인코딩하는 방법이 있습니까? 확실하지 않다면 어떤 확률 론적 의미에서?

선택한 숫자의 범위가 보다 큰 '저밀도'영역에서 LLL (및 아마도 PSLQ)이 부분 집합 합계 문제를 해결하는 데 적당히 사용되었다는 것을 알고 있습니다. 선택된 숫자의 범위가 보다 훨씬 작을 때 더 큰 크기의 인스턴스로 '고밀도'영역에서 실패합니다 . 여기서 저밀도 및 고밀도는 솔루션 수를 나타냅니다. 저밀도 영역은 존재하는 솔루션이 거의 없거나 전혀없는 반면, 고밀도는 솔루션이 많은 영역을 나타냅니다. $2^N$ $2^N$

고밀도 영역에서 LLL은 주어진 인스턴스간에 (작은) 정수 관계를 발견하지만 인스턴스 크기가 증가함에 따라 실행 가능한 서브 세트 합 또는 숫자 분할 문제 솔루션 인 관계가 발견 될 확률은 점점 작아집니다.

정수 관계 감지는 최적의 지수 범위 내에서 다항식이지만 Subset Sum 및 NPP는 분명히 NP-Complete이므로 일반적으로 불가능할 수 있지만 인스턴스가 무작위로 균일하게 그려지면 더 간단해질 수 있습니까?

아니면이 질문을하지 말고 대신 계산의 기하 급수적으로 증가하는 대신 최적의 대답에서 지수를 줄이는 방법이 있는지 묻어 야합니까?

— 사용자 834
소스

나는 답을 얻지 못해서 mathoverflow에 게시했습니다. mathoverflow.net/questions/38063/…

— user834

이것은 매우 흥미로운 질문입니다. 나는 또한 답변을 기다리고 있습니다. 기본적으로 부분 집합 합계 또는 NPP에서 정수 관계로 다항식 시간 감소 (임의의 경우)를 요구합니다. 이 방법에 대해, 경우

당신의 부분 집합 합 문제의 대상이며,

로, 양의 정수의 집합

만족하는 솔루션

. 이것은 실제 계수가 각각 1 인 경우와 동일한와 정확히 선형 조합

해당 가지고

t = 0

$t=0$

S

$S$

S^{'}

$S'$

0 = \sum_{a \in S^{'}} a

$0=\sum_{a\in S'} a$

a_{i} \in S

$a_i \in S$

항상 솔루션이 있으며 정수 관계에 대한 매핑도 솔루션을 제공합니다.

\sum_{i} a_{i} < 2^{n} - 1

$\sum_i a_i < 2^n-1$

— Marcos Villagra

@Marcos Villagra : 귀하의 의견은 파싱하기가 어렵습니다 ... 문제를 부분 집합 합계 / 숫자 파티션 문제로 격자에 포함시킬 수 있습니다 ( 검토 는 여기 참조 ). 질문은 계수를 원하는 세트 (0,1 또는 -1,1). LLL은 작은 관계조차도 정수 관계를 찾을 수 있지만 계수로 1 또는 2 만 있으면 하위 집합 합 / 숫자 파티션 응답으로 무효화됩니다.

— user834

m을 가장 큰 숫자의 로그라고하자. 경우 그것은 동적 프로그래밍을 이용하여 다항식 시간 내에 해결 가능하다. 일반적으로, 적어도 모든 알려진 알고리즘 인출 의 시간. 및 경우 알려진 다항식 시간 알고리즘이 없습니다. $m=O(\log n)$ $\Omega(2^{m})$ $m=\omega(\log n)$ $m=o(n)$

그러나 Flaxman과 Przydatek는 예상 다항식 시간의 중간 밀도 부분 집합 합 문제를 해결하는 알고리즘을 제공합니다.

이 참조를 확인하십시오.

Flaxman과 Przydatek, 예상 다항식 시간에 중간 밀도 부분 집합 합계 문제 해결

— 모하마드 알-투르 키스 타니
소스

이 결과는 Subset Sum 인스턴스에서 원하는 것보다 훨씬 낮은 숫자를 선택하기위한 것입니다. 그들은 log (n) ^ 2의 순서로 숫자 범위를 선택하는 반면 2 ^ n의 순서로 숫자 범위에서 흥미 롭습니다. 숫자 범위가 너무 낮게 제한되었을 때 Subset Sum을 해결하는 잘 알려진 알고리즘이 있으며이 범위를 조금 확장 한 것 같습니다. 그래도 감사합니다.

— user834