하위 모듈화의 강화

집합 기능 모노톤 submodular 경우 모두 , B , F ( ) + F ( B ) ≥ F ( ∪ B ) + F ( ∩ B ) $f$$A,B$

$$f(A) + f(B) \geq f(A \cup B) + f(A \cap B).$$

더 강한 속성은 C = A 복용

$$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A\cup B\cup C) \geq \\f(A\cup B) + f(B\cup C) + f(A\cup C) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$$ ,이 속성은 모노톤 submodularity을 의미한다.$C = A\cup B$

이 속성이 알려져 있습니까?

배경

이 특성은 적용 범위 기능을 특성화하려고 시도했습니다. 일부 가중 우주 주어 (모든 중량은 음수이다) 및 가족 X 의 서브 세트 U를 상기 커버리지 함수 F ( S가 ) 에 대해 정의 된 S ⊆ X 의 세트에 의해 커버 요소의 총 중량으로 S . 함수 f 는 항상 모노톤 및 서브 모듈러입니다. 대화는 사실이 아닙니다.$U$$X$$U$$f(S)$$S \subseteq X$$S$$f$

해당 속성은 다음 경우에 가 적용 범위 함수 임을 나타냅니다. | X | = 3 . 마찬가지로 더 복잡한 속성은 더 큰 X에 작동합니다 . 이러한 모든 특성은 적용 범위 기능으로 충족되므로 완전한 특성화입니다.$f$$|X| = 3$$X$

$k^{th}$

$f(B)-f(A)\ge 0$$A\subseteq B$

$(f(A\cup B)-f(B))-(f(A)-f(A\cap B))\le 0$

$n$

비슷한 가능성이 이미 알려져 있습니다. 커버리지 함수는 확률 척도 (확장 상수까지)로 간주 될 수도 있습니다. 내가 파낼 수 있었던 유일한 참고 문헌은 Feller의 책에서 439 페이지의 확률에 관한 것이었다.

$$\begin{multline*} f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C) + f((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f(A \cap (B \cup C)) + f(B \cap (A \cup C)) + f(C \cap (A \cup B)) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$$ "집합"조건은 희귀 컬렉션 "정량 분석법"의 일부인 Cramma, Hammer 및 Holtzman (불평등 (4))의 논문 "수퍼 모듈화 유형 불평등을 통한 의사-부울 함수의 원뿔의 특성화"에 언급되어 있습니다. Wirtschaftswissenschaften에서 " 이 조건은 나와 동일해야합니다.

$$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A \cap B \cap C) \geq \\ f(A \cup B \cup C) + f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C). \end{multline*}$$ $C = \varnothing$