GF (2)보다 낮은 정도의 랜덤 다항식의 바이어스는 무엇입니까?

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$p$ $\le d$ $bias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon$

*도 $\le d$ 및 n 변수를 사용 하여 임의 다항식을 쓸 때 확률 1/2로 선택한 총 도수 의 각 단항을 생각할 수 있습니다 $\le d$ .

내가 아는 유일한 관련 항목은 Schwartz-Zippel의 변형으로, 다항식이 일정하지 않은 경우 편향이 최대 임을 나타냅니다 $1-2^{1-d}$ . 따라서 $\epsilon=1-2^{1-d}$ 경우 확률은 정확히 $1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}$ 여기서 $p$ 는 상수. 불행히도이 $\epsilon$ 은 꽤 큽니다.

— 아비 쉐이 탈
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치우침 (f)에서 f는 무엇입니까?

— 타이슨 윌리엄스

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Ben-Eliezer, Hod 및 Lovett의 논문 "임의 저도 다항식은 근사하기가 어렵습니다"가 귀하의 질문에 답변합니다. 그들은 정도의 임의의 다항식의 상관 관계에 대한 강한 경계 보여 기껏 정도의 다항식과를 임의의 다항식의 바이어스를 분석하여,. 그들의 Lemma 2를보십시오 : 확률도 제외하고 임의의 차수 다항식 의 편향 ( 에서 선형 인 일부 까지 )은 최대 . $d$ $d-1$ $d$ $d$ $n$ $2^{-\Omega(n / d)}$ $2^{-\Omega\Big(\binom{n}{\le d}\Big)}$

— 데이비드
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안녕 @ 데이비드, 귀하의 답변이 매우 도움이되었습니다. 이메일로 질문하고 싶은데 메시지를 보내 주시겠습니까?

— Avishay Tal

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귀하의 질문은 리드 뮬러 코드의 가중치 분포에 대한 꼬리 한계와 같습니다. 리드 뮬러 코드의 가중치 분포를 이해하는 것은 코딩 이론에서 오래되고 까다로운 문제이며 이에 대한 몇 가지 흥미로운 결과가 알려져 있습니다 (가중치 분포는 및 에만 완전히 이해 됨 ). 훌륭한 출발점은 Tali Kaufman, Shachar Lovett, Ely Porat의 "분배기 코드의 무게 분포 및 목록 디코딩 크기"및 참조를 참조하십시오. $d=1$ $d=2$

— MCH
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