서브 세트 번호 매기기

수정하십시오 $k\ge5$. 충분히 큰 $n$ , { 1 ... T }의 양의 정수 로 크기가 정확히 n / k 인 $\{1..n\}$ 의 모든 서브 세트에 레이블을 지정하려고 합니다. 이 레이블이 다음 속성을 만족시키기를 원합니다. 정수 세트 S , st가 있습니다$n/k$$\{1...T\}$$S$

1. 경우 $k$ 크기의 부분 집합 $n/k$ 하지 교차 할 (즉, 이러한 세트의 합집합은 모든 집합 형성 $\{1..n\}$ ), 그들의 라벨의 합에 $S$ .
2. 그렇지 않으면 레이블 합계가 가 아닙니다 $S$.

가 존재 하는가 $k\ge5$ 와 라벨, 일 $T\cdot|S|=O(1.99^n)$ ?

예를 들어, 모든 $k$ 에 대해 다음과 같은 방식으로 하위 집합에 레이블을 지정할 수 있습니다. $T=2^n$ , 각각의 서브 세트는 보유 $n$ 그들의 수가 비트 : 첫번째 비트는 동일한 $1$ 서브 세트에 포함 IFF에 $1$ 번째 비트가 동일하고, $1$ 서브 세트에 포함 IFF에 $2$ 등 그것은 것을 쉽게 알 수 $S$ 오직 하나의 원소를 포함 $2^n-1$ . 그러나 여기에 $T\cdot|S|=\Theta(2^n)$ . 더 잘할 수 있을까요?

$k$

$t$$S_1, \ldots, S_{t}$$n/k$$f(S_1, \ldots, S_t)$

$t < k$$S_1 \cup \ldots \cup S_t \ne S'_1 \cup \ldots \cup S'_t$$f(S_1, \ldots, S_t) \ne f(S'_1, \ldots, S'_t)$

$S_{t+1}, \ldots, S_{k}$$\bigcup_{i=1}^{k} S_i = [n]$$S'_i$$f(S_1, \ldots, S_k)$$f(S'_1, \ldots, S'_t, S_{t+1}, \ldots, S_k)$

추론 : .$T > {n \choose tn/k}/t$

설정 하면 하한은 입니다.$t = k/2$$T \ge 2{n \choose n/2}/k = \Omega(2^n/\sqrt{n})$

참고 ODD에 대한 것을 하나는 낮은 차수의 하한 얻는다 입니다. 이미 대한 우리는이 지수는 경향이 있으므로 꽤 빨리.$k$${n \choose n(1-1/k)/2} \approx 2^{H((1-1/k)/2)n} = 2^{n(1-O(1/k^2))}$$k = 5$$H((1-1/k)/2) = H(0.4) \approx 0.97$$1$

나는 홀수 대한 해결책이 없다고 생각 하지만 그것을 증명하는 방법을 모르겠습니다.$k$

이것은 대답이 아니며 k = 2에 대해 그러한 레이블이 존재할 수없는 이유에 대한 설명입니다 (이것은 이미 Alex에게 알려져 있다고 확신합니다.

k = 2의 경우 입니다. 크기 n / 2의 서브 세트 가 있기 때문 입니다. 두 개가 동일한 레이블 (예 : A 및 B)을 얻는 경우 A 레이블과 그 보완의 합이 S에 있지 않거나 B 레이블과 A의 보충의 합이 S에 있습니다. 이는 의미합니다. (큰 n의 경우).$T\ge {n \choose n/2}\ge 1.99^n$${n \choose n/2}$$T\ge {n \choose n/2}$

더 큰 ka에 대한 유사한 논증은 모든 레이블이 달라야한다는 것을 보여 주지만, 이는 지수 하한이 더 약합니다. 따라서 이미 k = 3은 알 수없는 것 같습니다.