머신 스케쥴링을위한 다항식 시간 근사 알고리즘 : 몇 개의 개방형 문제가 남아 있습니까?

1999 년 Petra Schuurman과 Gerhard J. Woeginger는 "기계 스케줄링을위한 다항식 시간 근사 알고리즘 : 10 가지 개방 된 문제" 라는 논문을 발표했습니다 . 그 이후로, 내가 아는 한, 매우 동일한 문제 목록에 관한 리뷰는 나타나지 않았습니다. 따라서 우리 각자가 열 가지 미해결 문제 중 일부에 대해 요약하여 여기에 기여할 수 있다면 위대하고 유용 할 것입니다.

우선 순위 제약 조건 하에서 동일한 머신에서 최소화

열기 문제가 제공 1. 에 대한 inapproximability 결과를 P | p r e c | C m a x .$4/3+\delta$$P|prec|C_{max}$

여기서 가장 먼저 떠오르는 것은 Ola Svensson이 "동일한 기계에 대한 조건부 우선 순위 제한 제약"의 논문입니다. 그의 논문에서 Ola는

"단일 기계 문제가 의 계수 내에서 근사하기 어려운 경우, 단위 처리 시간의 경우에도 고려되는 병렬 기계 문제는 2 - ζ 의 계수 내에서 근사하기가 어렵습니다 . 여기서 ζ 는 0입니다. 로 ε는 "0 경향이있다$2-\epsilon$$2-\zeta$$\zeta$$\epsilon$

2008 년 논문이 출판 된 "우선 순위는 스케줄링을 제한 ·하기위한 알고리즘을 기술하는 최적의 "P|P(R)의전자C,P의J=1|C가있어요X. 제목에 언급 된 성능비와을이 결합하여 Coffman에-그레이엄 알고리즘을 개선 한2-$(2−\frac{7}{3p+1})$$P|prec,p_j=1|C_{max}$ , 여기서p는 기계 수입니다.$2-\frac{2}{p}$$p$

Jansen과 Solis-Oba의 논문 "체인 우선 순위 제약이있는 작업 스케줄링을위한 근사 알고리즘"은 및 결과적으로 P m | c h a i n s | C m a x 는 이전 문제의 특별한 경우입니다.$Qm|chains|C_{max}$$Pm|chains|C_{max}$

올해 얀센 (Jansen)과 솔리스-오바 (Solis-Oba) (이전의 저널 버전)에 의해 "체인 우선 순위 제한이있는 작업을 스케줄링하기위한 근사화 계획"기사가 나타 났으며, 이는 PTAS 모든 체인에서 고정 된 수의 작업이있는 C m a x 및 P | p r e c | 모든 주문의 연결된 구성 요소에서 일정한 수의 작업을 갖는 C m a $P|chains|C_{max}$$P|prec|C_{max}$

우선 순위 제약 조건 하에서 균일 한 머신에서 최소화

젠슨과 솔리스 - 오바에 의해 2003 년 올해의 종이 "체인 선행 제약 조건과 스케줄링 작업에 대한 근사 알고리즘"에 대한 학부모 교사 포함 .$Qm|chains|C_{max}$

통신 지연으로 우선 순위 제약 조건에서 최소화

관련이없는 머신에서 최소화

오픈 샵에서의 최소화

플로우 샵에서의 최소화

2008 년 Nagarajan과 Sviridenko의 논문에서 "순환 플로우 샵 스케줄링을위한 엄격한 경계"에서 최적의 makepan과 최상의 순열 스케줄의 makepan 사이의 비율에 대한 상한을 찾을 수 있습니다. 이 범위는 제안 된 알고리즘의 근사 비율이며, 사소한 하한을 기반으로 한 알고리즘 중 최대 2 √ 가 가장 좋습니다. 요인. 또한 제안 된 알고리즘은 현재 가장 근사 비율이 가장 높은 알고리즘입니다.$2\sqrt{2}$

작업장에서 최소화

개방형 문제 7. 대한 다항식 시간 근사 알고리즘이 존재하는지 확인 | | C m a x 최악의 성능은 기계 수 m 및 / 또는 최대 작동 수 μ 와 무관 합니다. 제공 (5) / 4 + δ 에 대한 inapproximability 결과를 J | | C m a x . J에 대한 근사한 결과 제공 | | C m a x 값이 숫자 m 과 함께 증가$J||C_{max}$$m$$\mu$$5/4+\delta$$J||C_{max}$$J||C_{max}$$m$ 기계의 번거 로움.

용 PTAS 설계 | | μ 가 입력의 일부인 경우 C m a x ; 또는 P ≠ NP 에서 그러한 PTAS의 존재를 반증한다 .$J2||C_{max}$$\mu$$\ne$

Svensson의 논문 "일부 고전 그래프의 근사 성과 스케줄링 문제"는 내 근사화 될 수 O ( ( 로그 패 B ) 1 - ε ) 가정 N P ⊆ Z T I M E를 ( 2 로그 N O ( 1 / ε ) ) 그리고 J 2 | | C m a $J||C_{max}$$O((\log lb)^{1-\epsilon})$$NP\subseteq ZTIME(2^{\log n^{O(1/\epsilon)}})$$J2||C_{max}$ 아니면 PTAS가 없습니다 .$NP\subseteq DTIME(n^{O(\log n)})$

우선 순위 제한이없는 총 작업 완료 시간

우선 순위 제한 조건 하의 총 작업 완료 시간

열린 문제 9. 증명 및 1 | p r e c | ∑ w j C j 는 P = NP가 아닌 한 성능 보증 2 − ϵ의 다항식 시간 근사 알고리즘을 갖지 않습니다 .$1|prec|\sum C_j$$1|prec|\sum w_jC_j$$2−\epsilon$

"한 개의 무료 비트로 최적의 긴 코드 테스트"에서 Bansal과 Khot은 그것이 사실임을 증명했지만, 독특한 게임 추측의 새로운 변형을 가정합니다.

흐름 시간 기준

$1|pmtn;r_j|\sum w_jF_j$$P|pmtn;r_j|\sum F_j$

$O(1)$$1|pmtn;r_j|\sum w_jF_j$$O(1)$

$\Omega(\sqrt{\frac{\log P}{\log\log P}})$$P|pmtn;r_j|\sum F_j$$\Omega(\frac{\log P}{\log\log P})$

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http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/research/OR/class/