시스템 F (또는 다른 정규화 된 λ- 미적분학) 내에서 -equivalence 를 결정할 수 있습니까?

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형식화되지 않은 람다 미적분에 대해 -equivalence 를 결정하는 것은 불가능하다는 것을 알고 있습니다. Barendregt 인용 , HP Lambda 미적분학 : 구문과 의미론. 암스테르담, 노스 홀랜드 (1984). : $\beta$

A와 B가 동일하지 않은 람다 항의 비 연속 세트 인 경우 A와 B는 재귀 적으로 분리 할 수 없습니다. A가 평등하게 닫힌 사소한 람다 항 집합이면 A는 재귀 적이 지 않습니다. 따라서 "M = x"라는 문제를 결정할 수 없습니다. 또한 Lambda에는 재귀 모델이 없습니다.

만약 우리가 시스템 F와 같은 정규화 시스템을 가지고 있다면, 주어진 두 용어를 줄이고 그들의 정규 형태가 같은지 비교함으로써 -equivalence를 "외부에서" 결정할 수 있습니다 . 그러나 "내부에서"할 수 있습니까? 과 이 동일한 정규 형식을 갖는 경우 두 개의 과 대해 , 그렇지 않으면 갖는 System-F 결합기 가 있습니까? 아니면 적어도 일부 대해이 작업을 수행 할 수 있습니까? 이 참이 되도록 을 구성하려면 iff $\beta$ $E$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{true}$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{false}$ $M$ $E_M$ $E_M N$ $N\equiv_\beta M$ ? 그렇지 않다면 왜?

— 페트르 푸들 락
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아니요, 불가능합니다. 유형의 다음 두 주민을 고려하십시오 . $(A \to B) \to (A \to B)$

\begin{array}{l} 미디엄 = λ 에프 . 에프 \\ 엔 = λ 에프 . λ ㅏ . 에프 ㅏ \end{array}

$\begin{array}{l} M = \lambda f.\;f \\ N = \lambda f.\;\lambda a.\; f\;a \end{array}$

이들은 별개 - 보통 형태지만, 이후 람다 기간에 의해 구별 할 수없는 입니다 의 -expansion , 그리고 -expansion 보존 관측 등가 순수한 형식화 된 람다 계산법이다. $\beta$ $N$ $\eta$ $M$ $\eta$

코디는 우리가 -equivalence로 수정하면 어떻게 될지 물었습니다 . 파라 메트릭 때문에 정답은 여전히 부정적입니다. 형식에서 다음 두 용어를 고려하십시오 . $\eta$ $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

\begin{array}{lcl} 미디엄 & = & λ 에프 : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ 엑스 : α . 에프 [\forall α . α \to α] (Λ β . λ 와이 : β . 와이) [α] 엑스 \\ 엔 & = & λ 에프 : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ 엑스 : α . 에프 [α] 엑스 \end{array}

$\begin{array}{lcl} M & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f \;[\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha]\;(\Lambda \beta.\lambda y:\beta.\;y)\;[\alpha]\;x\\ N & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f\;[\alpha]\;x \end{array}$

그것들은 별개의 -normal, -long 형태이지만 관찰 적으로 동일합니다. 실제로 는 단위 유형의 인코딩이므로 유형의 모든 함수 유형의 모든 함수는 동일합니다 는 확장 적으로 동일해야합니다. $\beta$ $\eta$ $\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha$ $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

— 닐 크리슈나 스와미
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좋아, 같은 질문 -equivalence :)

β, η

$\beta,\eta$

— 코디

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Neel의 완벽하게 올바른 답변에 대한 또 다른 대답은 다음과 같습니다. 시스템 F에 유형이 잘 지정된 콤비 가 있다고 가정하십시오 . 의 유형 은 다음과 같습니다. $E$ $E$

이자형 : \forall α . α \to α \to 비 영형 영형 엘

$E : \forall \alpha.\alpha\rightarrow \alpha\rightarrow {\bf bool}$

그러한 용어가 반드시 일정 하다는 것을 나타내는 자유에 대한 정리 가 있음이 밝혀졌습니다 .

\forall 티, 티, 유, 티^{'}, 유^{'} : 티, 이자형 티 티 유 = 이자형 티 티^{'} 유^{'}

$\forall T,\ t,u,t',u':T,\ E\ T\ t\ u = E\ T\ t'\ u'$

특히, 는 지속적으로 참 함수이거나 지속적으로 거짓 함수이며 "평등 결정자"일 수는 없습니다. $E$

— 코디
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