제곱합 증명 시스템

최근에 arxiv에서 제곱합이라는 증거 시스템을 언급하는 여러 기사를 보았습니다.

누군가가 제곱합 증명이 무엇인지, 왜 그런 증명이 중요 / 관심이 있는지 설명 할 수 있습니까?

그것들은 다른 대수 증명 시스템과 어떻게 관련이 있습니까? 그들은 Lassere에 어떤 종류의 이중입니까?

— 익명
소스

arxiv.org/abs/1211.1958 에는 몇 가지 개요가 있습니다 . 기본 SOS 시스템은 3 페이지를 통과하여 정의됩니다 (Grigoriev 및 Vorobjov 참조).

— 에밀 예라 벡은 모니카 지원

@ Emil, 논문에는 게시물의 질문에 대한 답변 (시스템, 역사 및 최근 작품과의 관련성을 설명하는 것)이 포함되어있는 것 같습니다.

— Kaveh

@ EmilJeřábek 답변을 확장 버전으로 게시하면 의견을 수락합니다.

— 익명

실제로, 나는이 시스템을 실제로 이해하는 사람이 대답을 원한다면 선호했을 것입니다.

— Emil Jeřábek는 Monica를 지원합니다 Monica

답변:

Grigoriev와 Vorobjov에 의해 Positivstellensatz 반박이라는 이름으로 소개 된 기본 제곱합 증명 시스템 은 다항식과 방정식의 집합 여기서,

S = {f_{1} = 0, \dots, f_{k} = 0, h_{1} \geq 0, \dots, h_{m} \geq 0},

$S=\{f_1=0,\dots,f_k=0,h_1\ge0,\dots,h_m\ge0\},$

에는 일반적인 해가 없습니다.

의 반박은다항식

와

의해 주어집니다

는

f_{1}, \dots, f_{k}, h_{1}, \dots, h_{m} \in R [x_{1}, \dots, x_{n}]

$f_1,\dots,f_k,h_1,\dots,h_m\in\mathbb R[x_1,\dots,x_n]$

R^{n}

$\mathbb R^n$

S

$S$

g_{i}

$g_i$

e_{I, j}

$e_{I,j}$

(하나는 대신에 실제 폐쇄 분야와 함께 일할 수있는

.) Stengle의 Positivstellensatz 보증을한다는

그것이 해결책이없는 경우에만, 논박이있다. 여기서 주된 복잡성 척도는 반박의정도이며, 이는

의 합산 기호 아래에 나타나는 다항식의 최대 총합, 즉

및

\begin{matrix} (*) & - 1 = \sum_{i = 1}^{k} g_{i} f_{i} + \sum_{I \subseteq {1, \dots, m}} \sum_{j} e_{I, j}^{2} \prod_{i \in I} h_{i} . \end{matrix}

$\tag{$*$}-1=\sum_{i=1}^kg_if_i+\sum_{I\subseteq\{1,\dots,m\}}\sum_je_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i.$

R

$\mathbb R$

S

$S$

(*)

$(*)$

g_{i} f_{i}

$g_if_i$

e_{I, j}^{2} \prod_{i \in I} h_{i}

$e_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i$

$\phi$ $S$ $x_i^2-x_i$ $x_i$ $\phi$

SOS 시스템의 이력과 개발에 대한 자세한 내용은 http://arxiv.org/abs/1211.1958 에서 찾을 수 있습니다 .

— Emil Jeřábek은 Monica를 지원합니다
소스

표준 책이 있습니까?

여기에 모델 이론이 있습니까?

Laserre는 최근 최적화 측면에 관한 책을 보유하고 있습니다. Cambridge University Press가 발행 한 "다항식 및 반대 수 최적화에 대한 소개"

— 찬드라 체 쿠리

$p(\vec{x}) \geq 0$ $p(\vec{x})$ $\vec{x}$

추론 규칙은 다음과 같습니다.

$\over x^2-x \geq 0$
$\over x-x^2 \geq 0$
$\over p(\vec{x})^2\geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})x \geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})(1-x) \geq 0$
$p_1(\vec{x}) \geq 0, \cdots, p_m(\vec{x}) \geq 0 \over \sum_{i=1}^m c_ip_i(\vec{x}) \geq 0$ $c_1, \cdots, c_m \in \mathbb{R}^+$

$p(\vec{x})^2\geq 0$

반정의 프로그래밍 및 근사 알고리즘과 관련이 있습니다.

더 많은 확인을 위해 알버트 Atserias BIRS 워크샵에서의 최근 대화 응용 SAT 해결의 이론적 기초 :

Albert Atserias , Semi-Algebraic Proof Systems의 미니 튜토리얼 ( 슬라이드 ), 2014

— 카베
소스

이 공식은 Emil의 것과 동일합니까? 너는 "동적"이고, 따라서 Emil의 것이 "정적"인 DAG와 같은 증거를 허용하므로 나무와 같은 버전의 것으로 보인다. 따라서, 복잡성 (예를 들어, 정도, 모노 미알 수의 수의 크기, 및 라인 수)과 관련하여 분명히 상이하다. 이것이 사실입니까?

— Iddo Tzameret

@Iddo, 당신이 옳다고 생각합니다. 복잡도 측정 값이 같지 않을 수 있습니다. 앨버트는 자신의 대화에서 내가 정확하게 기억한다면 주요 흥미로운 복잡성 측정에 대한 대응 관계를 매우 간략하게 설명하지만, 다른 측정에 관심이 있다면 공식화에 더 신중해야 할 필요가 있습니다.

— Kaveh

@Kaveh 나는이 개 관련 질문을 올려 할 수 있습니다 친절하게 도움 (1)의 경우 cstheory.stackexchange.com/questions/30930/... (2) cstheory.stackexchange.com/questions/30932/...

— user6818