폴리 로그 바운드 깊이 회로의 회로 하한 상태

경계 깊이 회로 복잡도는 회로 복잡도 이론 내에서 주요 연구 분야 중 하나입니다. 이 주제에는 "패리티 함수가 "및 "mod 함수가 "에 의해 계산되지 않습니다 ( 여기서 는 클래스 와 같은 결과 가 있습니다. 불균일하고 일정한 깊이, 다항식 크기, 무한 팬인 AND, OR, NOT 및 모듈로 게이트에 의해 결정될 수있는 언어로 , 여기서 입니다. 그러나 다항식 깊이 회로에서 구체적인 하한 결과를 얻는 것은 입력 제한 및 유한 필드의 다항식 근사와 같은 고전적인 방법을 사용하여 도달 할 수없는 것으로 보입니다.$AC^{0}$$p$$AC^{0}[q]$$AC^0[q]$$q$$\gcd(p,q)=1$

STOC'96 논문은 기하학적 복잡성 이론으로 이어지고 비트 단위 연산을 사용하지 않는 효율적인 병렬 컴퓨팅은 최소 비용 흐름 문제를 계산할 수 없음을 보여줍니다.

이는 특정 제한된 설정에서 일부 P 완료 문제에 대한 $NC$ 하한을 증명할 수 있음을 의미합니다 .$P$

첫째, 다항식 깊이 회로 하한을 증명하기위한 그럴듯한 접근 방법이 될 수있는 다른 방법이나 기술이 있습니까?

둘째, 이론 커뮤니티에 다음 진술이 얼마나 유용합니까?

부울 함수 f \ colon \ {0,1 \} ^ {n} \ rightarrow \ {0,1 \}을 계산 하는 $NC$ 회로 의 크기는 l 이상입니다 . 여기서 l 은 경도에 따라 수학적인 양입니다. 목표 함수 f . l 의 값은 , 예를 들어 불일치와 같은 조합 량, 필드에 대한 특정 유형의 매트릭스의 순위와 같은 선형 대 수량, 또는 복잡도 이론에서 이전에 사용되지 않은 완전히 새로운 양일 수있다.$f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$$l$$l$$f$$l$

폴리 로그 회로 깊이 하한을 증명하는 기술에서 모든 현재 접근 방식은 제한된 설정에서 작동 합니다. 마찬가지로 GCT로 이끄는 작업 에서 하한은 비트 연산없이 제한된 PRAM 모델에 적용됩니다.

모노톤 부울 함수에 대한 모노톤 제한 인 또 다른 제한 사항에서는 Aaron Potechin ( ECCC 및 STOC ) 과의 공동 작업에서 모노톤 회로 깊이 하한을 입증하기위한 푸리에 분석 (또는 열거 조합) 접근 방식이 있습니다. Ran Raz와 Pierre McKenzie 의 초기 결과 로 회로 깊이에 관한 Mauricio Karchmer와 Avi Wigderson 의 커뮤니케이션 게임 프레임 워크 가 확장되었습니다 .

Karchmer-Wigderson 게임을 확장하기위한 또 다른 연구 라인은 Scott Aaronson과 Avi Wigderson 의 추천 커뮤니케이션 게임으로 제안되었습니다. 그의 경쟁 프로토콜에 대한 확장은 Gillat Kol과 Ran Raz의 P와 NC를 분리하는 방법으로 제안됩니다. ECCC 및 ITCS ).

단 조성의 구문 제한을 연구하는 것 외에도 Stephen Cook, Pierre McKenzie, Dustin Wehr, Mark Braverman 및 Rahul Santhanam의 조약 게임과 관련된 시맨틱 제한 (스리 프티 브랜칭 프로그램이라고 함)을 연구 하는 방법 이 있습니다. 가 하한 강한 더스틴 Wehr하여 검소 제한 하에서 알려진 가장 일치 상한 P 완성 문제가있다. 이러한 결과는 결정적인 공간 복잡성에 관한 것으로, 알려진 시뮬레이션 결과에 의해 경계 시간이 짧아 지거나 회로 깊이가 낮아집니다 (예 : ).$\text{AlternatingTime}[t] \subseteq \text{DeterministicSpace}[t]$

회로의 크기와 깊이에 관한 질문에 대해서는 다음과 같은 접근법이 관련 될 수 있습니다. Richard Lipton과 Ryan Williams 는 깊이에 대해 충분히 강한 하한 (예 : )이 주어지면 약한 크기 하한 (예 : )이 P와 NC를 분리합니다.이 결과는 블록 존중 시뮬레이션에 기반한 크기-깊이 트레이드 오프 인수에서 비롯됩니다. 크기에 대한 거래 심도에 대한 초기 결과 는 자기 환원성이라는 아이디어에 기초한 Allender와 Koucký 때문이지만 NC 및 NL과 같은 더 작은 복잡성 클래스를 연구했습니다 .$n^{1-O(1)}$$n^{1+\Omega(1)}$$^1$

위에서 언급 한 접근 방식 중 일부는 회로의 크기와 깊이를 모두 고려하는 반면 다른 접근 방식은 회로 깊이 만 고려합니다. 특히, 반 algebro - 기하의 접근 Mulmuley 에 의해 연구 경쟁-증명 프로토콜 방식 Kol의-말이 맞아 , 및 크기 심도있는 트레이드 오프의 접근 Allender - Koucký 와 립톤 - 윌리엄스 모든 문제를 모두 크기와 깊이 회로. 결과의 찬 Potechin , 라즈-맥켄지 , 주방 맥켄지-Wehr-Braverman-Santhanam 및 Wehr의 주고 회로 심층 크기에 관계없이 제한 범위 설정에서 낮은. 또한, 언급 된 통신 게임Aaronson-Wigderson 은 회로 깊이에만 관심이 있습니다.

크기에 관계없이 작은 깊이의 회로 (예 : )로 일부 P- 완전 문제를 계산할 수 없다는 것은 여전히 ​​우리의 지식과 일치 합니다. 크기가 작은 깊이 회로 (바운드 팬인)에 중요하지 않은 경우 작은 깊이 회로의 크기에 초점을 맞추는 것보다 회로 깊이에 더 초점을 맞추는 것이 좋습니다.$\log^{O(1)}n$

Kaveh의 제안에 따라, 나는 나의 의견을 (확장) 답변으로하고 있습니다.

관한 $Q1$ 주의의 단어 순서이다에도 대수 깊이 경우까지 복대 대해 말하기하지 이해되지. 따라서 비 모노톤 세계에서 실제 문제는 훨씬 덜 야심적입니다.

비트 심도 문제 : 회로에 대한 수퍼 선형 (!) 하한을 증명하십시오 . $NC^1$

선형 회로 에서도 문제는 여전히 열려 있습니다 (현재 30 년 이상) . 이러한 fanin-있는 2 기초 위에 회로 { ⊕ , 1 } , 그들은 연산 선형 변환 F ( X ) = A는 X 위에 G F ( 2 ) . 쉬운 카운팅은 거의 모든 매트릭스 A 가 모든 깊이에서 Ω ( n 2 / log n ) 게이트를 필요로 한다는 것을 보여줍니다 . $NC^1$$2$$\{\oplus,1\}$$f(x)=Ax$$GF(2)$$A$$\Omega(n^2/\log n)$

에 관한 $Q2$ : 예, 우리는 이 몇 가지 대수 / combinatoric 조치 로그 깊이 회로를 이길 것입니다있는 하한을. 불행히도, 지금까지 이러한 조치에 대해 충분히 큰 한계를 입증 할 수는 없습니다. 선형 회로의 경우, 이러한 측정은 행렬 A 의 강성 R A ( r ) 입니다 . 이것은 순위를 r 로 줄이기 위해 변경해야하는 A 의 최소 ​​항목 수입니다 . 쉬운 보여 그 R ( R ) ≤ ( N $NC^1$ $R_A(r)$$A$$A$$r$ 는 모든 부울 n x n 행렬 A 에 대해 유지되며 Valiant (1977)는이 경계가 거의 모든 행렬에 대해 빡빡하다는 것을 보여주었습니다. 로그 깊이 회로를 이기기 위해서는 일련의 부울 n × n 행렬 A 를 나타내는 것으로 충분합니다.$R_A(r)\leq (n-r)^2$$n\times n$$A$$n\times n$$A$

상수가 ε , δ > 0 . $R_A(\epsilon n)\geq n^{1+\delta}$$\epsilon,\delta>0$

지금까지 우리가 아는 가장 좋은 것은 R A ( r ) ≥ ( n 2 / r ) log ( n / r ) 인 행렬 입니다 . 실베스타 매트릭스 (즉, 내적 행렬)의 경우,은의 하한 Ω ( N 2 / R은 ) 인 표시 쉽다 . $A$$R_A(r)\geq (n^2/r)\log(n/r)$$\Omega(n^2/r)$

우리 조합 일반 (비선형) 대책이 -circuits뿐만를 분형 들면 N × N 그래프 G ,하자 t ( G는 ) 최소 개수 일 t 되도록 G는 교점과 같이 쓸 수있다 t 분형 각각 최대 t 개의 완전한 이분 그래프 의 결합 인 그래프. 일반적인 로그 깊이 회로를 이기기 위해서는 다음과 같은 일련의 그래프를 찾는 것으로 충분합니다.$NC^1$$n\times n$$G$$t(G)$$t$$G$$t$$t$

상수 ϵ > 0의 경우 t ( G n ) ≥ n $t(G_n)\geq n^{\epsilon}$$\epsilon >0$

(예를 들어, 여기 에 이런 일이 어떻게 발생하는지 참조 ) 또, 거의 모든 그래프가 . 그러나 Lokam 으로 인해 실베스터 행렬의 경우 최고 값이 하한 t ( G ) ≥ log 3 n 으로 남아 있습니다. $t(G)\geq n^{1/2}$$t(G)\geq \log^3 n$

마지막으로, "단순한"조합 측정 (수량)에 약한 (선형) 하한이있어 단조로운 회로가 아닌 지수 (!) 하한을 얻을 수 있다고 언급하겠습니다. 이분 들면 그래프 G ,하자 C ( G는 ) fanin-의 최소 숫자 2 조합 ( ∪ () 및 교차 ∩ 작업을 생성하는 데 필요한) G를 별에서 시작할 때; 별은 한 정점을 다른 정점의 모든 정점과 연결하는 모서리 세트입니다. 거의 모든 그래프는 c ( G ) = Ω ( n $n\times n$$G$$c(G)$$2$$\cup$$\cap$$G$ . 한편, 하한$c(G)=\Omega(n^2/\log n)$

상수 ϵ > 0의 경우 c ( G n ) ≥ ( 4 + ϵ ) $c(G_n)\geq (4+\epsilon)n$$\epsilon>0$

하한을 암시 는 명시 적 부울 함수의 비 - 단조 회로 복잡도 F G 의 N의 변수. 경우 G가 인 N × m을 가진 그래프 m = O ( N ) , 다음 짝수 하한 C ( G N ) ≥ ( 2 + ε ) N 충분하다 (다시, 예를 들면, 참조 여기 이런 방법). 하한 c ( $\Omega(2^{N/2})$$f_G$$N$$G$$n\times m$$m=o(n)$$c(G_n)\geq (2+\epsilon)n$ 은 비교적 간단한 그래프에 대해 표시 될 수 있습니다. "그러나 문제는이 작업을 수행하는 것입니다 - ε "로 대체 " + ε ". 더 조합 수단은 하향 - 경계 (포함한 회로 복잡성 C C 에서 찾을 수 -circuits) 책. $c(G)\geq (2-\epsilon)n$$-\epsilon$$+\epsilon$$ACC$

PS 그래서 우리는 일정한 비율로되어 게재 P ≠ N P를 ? 당연히 아니지. 나는이 후자의 측정 값 c ( G ) 만이 회의론의 건전한 부분으로 하 한계의 "증폭"(또는 "확대")을 처리해야한다는 것을 보여주기 위해서만 언급 했다. 거의 모든 그래프에서 요구하는 것보다 (선형 적), 하한을 증명하는 본질적인 어려움은 훨씬 클 수 있습니다. 물론 조합 측정법을 찾았 으면 함수의 속성으로 인해 계산이 어려워지는 것에 대해 말할 수 있습니다 . 이것은 간접적 인 것을 증명하는데 유용 할 수 있습니다$2+\epsilon$$P\neq NP$$c(G)$하한 : 일부 복잡한 클래스에는 큰 회로 나 공식이 필요한 함수가 포함됩니다. 그러나 궁극적 인 목표는 정의에 "알고리즘 냄새"가없고 숨겨진 복잡성 측면이없는 명확한 하드 함수를 만드는 것입니다.