분산에 가장 효율적인 알고리즘은 무엇입니까?

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$a$ $b$ $a$ $b$ $a$ $b$ $O(m\log m\log\log m)$ $m$ $\max\{a,b\}$ $\Omega(m\log m\log\log m)$ 이 문제의 하한?

고마워요, 그리고 이것이 순진한 질문이라면 죄송합니다.

AFAIK 알려진 사소한 하한은 없습니다. 나는 곱셈과 나눗셈이 뉴턴의 방법을 통해 본질적으로 동일한 복잡성을 갖는 것으로 알려져 있다고 생각합니다 (왜냐하면 로그 로그 팩터까지 가능할까요?) 당신은 주요 결과가 될 것이라고 진술하고 있습니다.

— Steven Stadnicki

(실제로 지금 보면 로그 로그 요소가 일정하지 않은 곱셈을 수행하는 동안 길이가 같지 않기 때문에 초 선형 요소가 같은 방식으로 흡수 될 수 있기 때문에 로그 로그 요소가 사라진다고 생각합니다. 예를 들어,

\sum_{k = 1}^{⌊ \lg n ⌋} \frac{n}{2^{k}}

$\sum_{k=1}^{\lfloor\lg n\rfloor} \frac{n}{2^k}$ 는 일정하지 않은 수의 '선형'요소가 있어도

에서 선형입니다

n

$n$ .)

— Steven Stadnicki

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내 의견을 답으로 정리 : 나눗셈은 (사소한) 나눗셈으로 환원 할 수 있고 나눗셈은 (사소하게) 뉴턴의 방법과 같은 접근법을 통해 곱셈으로 나눌 수 있기 때문에 문제는 정수 곱셈과 같은 시간 복잡성을 가져야합니다. AFAIK, 사소한 선형보다 곱셈에 대한 알려진 하한이 없기 때문에 문제에 대해서도 마찬가지입니다. 특히 곱셈은 (본질적으로) 알고리즘, 하한에 대한 희망 은 거의 헛된 것입니다. $O(n\log n\log^* n)$ $n\log n\log\log n$

나누기가 곱셈에 대한 복잡성을 정확하게 감소시키는 이유는 내가 이해하는 바와 같이 뉴턴의 방법이 서로 다른 확대 크기의 곱셈을 수행하기 때문입니다. 즉, 복잡도 를 사용한 곱셈 알고리즘이 있으면이 곱셈 알고리즘을 중간 단계로 사용하는 나눗셈 알고리즘의 복잡성이 — 토론중인 모든 복잡한 클래스의 경우 입니다. $\Theta(f(n))$ $\Theta\left(\sum_{k=0}^{\lg n} f(\frac{n}{2^k})\right)$ $\Theta(f(n))$

— 스티븐 스타드 니키
소스

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Nitpick : 현재 알려진 최고의 알고리즘보다 곱셈 알고리즘이 더 이상 없다고 가정하더라도 이러한 종류의 추론에서 하한을 얻는 방법을 모르겠습니다. 감소는 나눗셈이 곱셈보다 어렵지 않다는 것을 암시합니다. 그러나 나눗셈은 숫자 대신 예 / 아니오로 답하면되기 때문에, 나눗셈이 나누기보다 쉽고 곱하기보다 쉬울 가능성이 여전히 있습니다. (적어도, 당신이 언급 한 감축이 그것을 배제하는 것으로 보이지는 않습니다.)

— DW

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@DW는 동의했다. 그리고 그것은 훌륭한 지적이다. 그러나 나는 하한을 얻으려고 노력하지 않았습니다. 오히려 요점은 분할에 대한 하한이 곱셈에 해당하는 하한을 의미하며, 그러한 경계가 사소한 선형 경계를 넘어 알려지지 않기 때문에 분할에 대한 선형보다 낮은 하한을 얻는다는 것입니다. OP가 요청한 것 같지 않습니다.

— Steven Stadnicki

@DW 나는 나눗셈 에 대한 선형 상한 에 대해 배우는 것에 완전히 충격을 받지 않을 것입니다. 구체적으로 곱셈에 대한 상한에 대해서는 아무것도 암시하지 않지만 AFAIK 방향에는 구체적인 결과가 없습니다.

— Steven Stadnicki

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나는 3,7 등으로 끝나는 일부 숫자에 대한 Vedic 유형의 해킹이 있다고 생각합니다.

그러나 일반적으로 가장 빠른 분할 알고리즘이 표준으로 보입니다.

내가 보지 않고 아는 가장 좋은 것은 Knuth의 Seminumerical 방법의 알고리즘 D입니다 ... 그래도 정확성을 확인하지는 않았습니다. 곱하기 복잡성을 고려하지 않고 m과 n이 피제수와 제수 인 O (mn-n ^ 2) 정도에서 실행됩니다.

그러나 귀하의 질문이 결정 문제에만 관련되어 있기 때문에 하한은 놀랍도록 낮을 수 있습니다.

— 필
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