하한을 생성하기위한 Mulmuley-Sohoni 기하학적 접근은 어떻게 Razborov-Rudich 의미에서 자연적 증거를 생성하지 않습니까?

제목의 정확한 문구는 Anand Kulkarni (이 사이트를 만들 것을 제안한 사람) 때문입니다. 이 질문은 예제 질문으로 제기되었지만 정말 궁금합니다. 나는 대수 기하학에 대해 거의 알지 못하고 실제로 P / poly 대 NP 질문에서 논란의 여지가있는 학부 이해도 있습니다 (비 상대적, 비 대수, 자연적인 증거는 아닐 것입니다) .

대수 기하학이 이러한 종류의 장애물을 우회 할 수있는 것처럼 보이는 이유는 무엇입니까? 현장 전문가의 직관일까요? 아니면 그 접근법이 이전의 접근법보다 근본적으로 더 강력하다고 믿을만한 충분한 이유가 있습니까? 이 방법으로 얻을 수 있었던 약한 결과는 무엇입니까?

[제목에 명시된대로 질문에 대답하고 다른 스레드에 대한 GCT에 대한 다른 질문은 거의 남기지 않습니다.] GCT에서 발생하는 추측을 입증하는 것은 고려중인 기능 (결정적 및 영구적, 그리고 P / poly 및 NP에 대한 다른 관련 다항식은 그 대칭성을 특징으로한다. 이러한 필요성은 공식적인 결과가 아니라 여러 전문가가 표현한 직관입니다. (기본적으로 대칭에 의한 특성화가 없다면, 발생하는 대수 기하학과 표현 이론을 이해하는 것이 훨씬 어렵다.)

Razborov-Rudich를 무시해야합니다. 기능이 거의 없기 때문입니다 (자연 증명의 정의에서 큰 조건을 무시 함). 다시, 나는 이것에 대한 증거를 보지 못했지만 그것은 여러 전문가들에 의해 표현 된 직관입니다.

이제 복소수에 대해 Razborov-Rudich의 아날로그가 있는지 확실하지 않습니다. 대부분의 GCT가 현재 복소수에 초점을 맞추고 있지만 유한 특성에 대한 유사점이 있습니다 (앞서 나오는 GCT VIII에서 약속). 유한 한 특징에서, 실제로는 "매우 적은 기능들이 그들의 대칭에 의해 특징 지워지는"형태의 진술을 증명할 수있을 것이다.

[로스 스나이더의 의견에 대한 응답으로 대칭에 의한 특성화에 대한 설명이 있습니다.]

먼저 예를 들어 설명합니다. 예를 들어, 보조 함수 정의하십시오 . 경우 A는 다음 순열 행렬이며, 과 경우 다음 대각선 (대각선 엔트리 생성물). 이제 가 변수 에서 균질도 다항식 이라고 가정 합니다 ( 행렬 X 의 전체로 생각 ). p 에 다음과 같은 대칭이있는 경우 :$q$$A$A q ( A ) = d e t ( A ) p ( X ) n n 2 n × $q(A)=1$$A$$q(A)=det(A)$$p(X)$$n$$n^2$$n \times n$$X$$p$

• (조옮김)$p(X) = p(X^t)$
• 행렬들의 모든 쌍 ( , B ) 되도록및 B는 각각의 순열 행렬을 대각 행렬 및 하나하다 Q ( ) Q ( B는 ) = $p(AXB) = p(X)$$(A,B)$$A$$B$$q(A)q(B) = 1$

그러면 는 모든 행렬 X에 대한 p e r m ( X ) 의 상수 배수입니다 . 그러므로 우리는 지속 물이 그 대칭으로 특징 지어진다고 말합니다.$p(X)$$perm(X)$$X$

우리는 (균질) 다항식있는 경우보다 일반적으로, 의 m의 변수는 다음 G L의 m (전체 가역 군 m × m 행렬)에 작용 F 로 ( F ) ( X 1 , . . . , X의 m ) = F ( - 1 ( X 1 ) $f(x_1, ..., x_m)$$m$$GL_m$$m \times m$$f$ 에 대한 ∈ G L의 m 우리 변수 복용 ( X 1 , . . . , X의 m 위한 기초로서 m 되는 차원 벡터 공간 G L의 m이 자연스럽게 작용). G L m 에서 f 의 안정제는부분 군 Stab ( f ) = { A ∈ $(Af)(x_1,...,x_m) = f(A^{-1}(x_1),...,A^{-1}(x_{m}))$$A \in GL_m$$x_1,...,x_m$$m$$GL_m$$f$$GL_m$ . 우리는 말할 f는 다음을 보유하는 경우의 대칭성에 의해 특징되어있는 균질 다항식 F ' 에서 m의 같은 정도의 변수 F , 만약 F ' = F ' 모두 ∈ 찔러 ( F ) 다음, F ' 인 f의 상수 배수.$\text{Stab}(f) = \{ A \in GL_m : Af = f\}$$f$$f'$$m$$f$$Af' = f'$$A \in \text{Stab}(f)$$f'$$f$

Joshua Grochow의 대답은 좋은 것이지만 좀 더 일반적인 의견을 제시 할 가치가 있다고 생각합니다. Razborov-Rudich 결과는 당신이 어떤 부울 함수가 아님을 증명하려면 말한다 , 다음 중 하나를 계산하는 사소 이상인지 기능의 일부 속성을 사용해야합니다 (당신이 그들의 암호화 가설을 믿는 가정) 이는 소수의 다른 부울 함수 만 공유합니다. 실제로 적절한 속성을 찾는 것은 쉽지 않습니다. 그러나, Razborov–Rudich 관측은 의도 된 증거에 대한 구체적인 세부 사항이없는 경우 회로 하한 에 대한 일반적인 공격 계획을 거의 배제하지 않습니다 . 예를 들어, 내가 증명하겠다는 나의 계획이 순진하게$P/poly$ 는 S A T ∉ P / p o l y을 보여 주었고 S A T 가 N P- 완전하다는 사실을 사용하려고했다. 이 순진한 "공격 계획"은 내용이 거의 없지만, Razborov–Rudich는이를 배제하지 않습니다. N P- 완전성이큰 속성이 아니기때문입니다.$NP\not\subseteq P/poly$$SAT\notin P/poly$$SAT$$NP$$NP$

달리 말하면, Razborov–Rudich는 계획에 "특별한 속성"을 적용 할 공간을 남겨 두는 한 회로 하한선에 대한 공격 라인을 계획하는 초기 단계에서 일반적으로 많은 장애물을 제시하지 않습니다. 부울 함수 후보. 소매를 감아 귀화 장벽이 본격적으로 머리를 들기 시작한다는 주장의 세부 사항을 작성하려고 할 때만 가능합니다. GCT가 아직 개발 초기 단계라는 점을 감안할 때 아직 귀화에 대해 크게 걱정할 필요는 없습니다 (물론 GCT 프로그램이 사소한 이유로 파산되지 않았는지 확인하는 것이 좋습니다).

귀화 장벽에 대한 몇 가지 언급이 포함 된 Ken Regan의 GCT 박람회 를 확인하십시오 .