알 수없는 작은 다항식으로 나눌 때 큰 고정 다항식의 나머지를 찾습니다.

유한 필드에서 작업한다고 가정합니다. 이 필드에 대해 큰 고정 다항식 p (x) (즉, 차수 1000)가 제공됩니다. 이 다항식은 미리 알려져 있으며 "초기 단계"에서 많은 리소스를 사용하여 계산을 수행 할 수 있습니다. 이러한 결과는 비교적 작은 조회 테이블에 저장 될 수 있습니다.

"초기 단계"의 끝에서, 알려지지 않은 작은 다항식 q (x)가 주어질 것이다 (즉, 5도 이하).

"초기 단계"에서 복잡한 계산을 수행 할 수 있다면 p (x) mod q (x)를 계산하는 빠른 방법이 있습니까? 한 가지 확실한 방법은 가능한 모든 q (x) 값에 대해 p (x) mod q (x)를 계산하는 것입니다. 더 좋은 방법이 있습니까?

다음 알고리즘은 기본 필드의 순서가 매우 작은 경우에 효과적입니다. $s$.

우리가 알고 있다고 가정 $q$ 일정 정도의 돌이킬 수 없다 $d$. 그런 다음 mod$q$, 우린 알아 $x^{s^d} = x$보유합니다. 따라서 를 사전 계산하면 충분합니다 .$p(x) \mod x^{s^d} - x$

일반적으로 는 수없는 다항식 의 곱으로 분해 될 수 있습니다 . 이 경우, 유사한 인자 계산에 적용 모듈 각각 별도로하고 함께 결과를 조립할. 따라서 각 에 대해 를 계산해야합니다 .$q(x)$$q = q_1 \dots q_r$$p$$q_1, \dots, q_r$$p(x) \mod x^{s^{d'}} - x$$d' \leq d$

나는 이것을 할 수있는 매우 빠른 방법이 있다고 생각합니다. 아직 알려지지 않은 다항식의 계수를 보자$q$ 있다 $b_i$그래서 $q=\sum_{i=0}^d b_ix^i$ 어디 $d$작은 숫자입니다. 이제 컴퓨팅을 시작하겠습니다$p \pmod q$ 어디 $p=\sum_{i=0}^D a_ix^i$, 어디 $D$ 크고 $a_i$알려져 있습니다. 우리는 평등을 사용하여 정도를 줄임으로써$a_Dx^D= \frac {-a_D}{b_d} \sum_{i=1}^{d-1} b_{d-i}x^{D-i}$. 결국 우리가 얻는 것은 학위입니다$<d-1$ 계수가 다항식 인 다항식 $b_i$ (부터 $a_i$알려져 있습니다). 이 다항식은 일단 계산하면 빠르게 계산할 수 있습니다$q$.

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전처리; 입력: $p(x)$

1. 인자 $p(x)$ 같이 $p(x)=\prod_{i=0}^{1000} (x_i-r_i)$.

2. 이것을 테이블로 저장 $T$ 뚜렷한 뿌리 $r_j$ 그리고 그들의 각각의 다중성 $m_j$.

온라인 단계; 입력: $q(x)$

1. 인자 $q(x)$ 같이 $q(x)=\prod_{i=0}^5 (x_i-r'_i)$.

2. 이것을 목록으로 저장 $L$ 뚜렷한 뿌리 $r'_j$ 그리고 그들의 각각의 다중성 $m'_j$.

3. 동안 $L$ 비어 있지 않은 경우 다음 루트 / 다중성을 제거하십시오. $L$ 그리고 비슷한 용어들 $T$.

4. 읽어 $p(x)\bmod{q(x)}$ 수정 된 테이블에서 $T$ 출력.

다른 의견들 :

• 분명히 당신은 테이블을 정렬하고 싶습니다 $T$ 이진 검색 (또는 트리)으로 액세스하십시오.
• (허락하다 $d$ 정도이다 $p(x)$.) 출력을 원한다면 $p(x)\bmod{q(x)}$ 계수 표현을하려면 마지막에 FFT를 여러 번 수행하여 $\tilde{O}(d)$ 시각.
• 공식화 방법에 따라 용어를 다시 조합하는 다양한 방법을 미리 계산할 수 있습니다. $T$사전에 (동적 프로그래밍 스타일), 대부분의 (또는 모든) 곱셈은 단지 조회입니다. 지배 비용은 조회 횟수 또는 대략적인 수치입니다.$O(\log d)$. 만약$d=1000$, 이것은 소수의 구체적이고 산술적 인 연산입니다.