스패닝 트리 수를 빠르게 계산

하자 그래프에 걸쳐 나무의 수를 나타내는 와 정점. 산술 연산 에서 를 계산하는 알고리즘이 있습니다. 이 알고리즘은 . 여기서 는 의 라플라시안 이고 는 로만 구성된 행렬 입니다. 이 알고리즘에 대한 자세한 내용은 Biggs-대수 그래프 이론 또는 이 Math SE 질문을 참조하십시오 . $t(G)$ $G$ $n$ $t(G)$ $O(n^3)$ $\frac{1}{n^2} \det(J + Q)$ $Q$ $G$ $J$ $1$

$t(G)$ 더 빨리 계산할 수있는 방법이 있는지 궁금합니다 . (예, 결정을 계산하는 데 $O(n^3)$ 알고리즘 보다 빠르지 만 새로운 접근법에 관심이 있습니다.)

또한 특수한 그래프 군 (평면, 아마도?)을 고려하는 데 관심이 있습니다.

예를 들어, 순환 그래프의 경우, 통해 산술 연산 $t(G)$ 에서 를 계산할 수 있습니다. 여기서 는 의 라플라시안 행렬의 0이 아닌 고유 값으로 , 순환 그래프에 대해 빠르게 계산할 수 있습니다. (첫 번째 행을 다항식으로 표현한 다음 번째 근본 단위 로 계산하십시오. 이 단계에서는 이산 푸리에 변환을 사용하며 산술 연산 에서 수행 할 수 있습니다 . $O(n \lg n)$ $t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}$ $\lambda_i$ $G$ $n$ $O(n \lg n)$

대단히 감사합니다!

— 핀 스키
소스

Sergey, 나는 명확성을 높이기 위해 질문을 편집하려고했습니다. 귀하의 질문을 올바르게 이해했으며 오류가 발생하지 않았는지 확인하십시오.

— 타이슨 윌리엄스

아벨 그룹 케일리 그래프 : 여기 찾는 복잡성 빠르게 할 수 그래프 군 중 하나 이상의 일반적인 예이다

G

$G$ 발전기 세트

S

$S$ 되도록,

S^{- 1} = S

$S^{-1} = S$ . 이러한 행렬의 고유 값은

\sum_{h \in S} χ (h)

$\sum_{h \in S} \chi (h)$ 이며 여기서

χ

$\chi$ 는 그룹의 다른 문자입니다. 모든 문자는 쉽게 찾을 수 있습니다 (자세한 내용은 이 백서 참조 ). 이러한 문자를 계산하는 것은

n

$n$ 차원 FFT입니다 (FFT에 대한 Cormen et al 장 참조). 즉

에서 수행 할 수 있습니다

O (n \lg n)

$O(n \lg n)$ .

— Finsky

Cayley 그래프에 대한 자세한 내용은 이 책을 참조하십시오 .

— Finsky

일반 행렬 대신 라플라시안으로 선형 대수를 수행하는 것이 더 쉽습니다. 이것이 관련이 있는지 궁금합니다.

— Gil Kalai

토론 주제와 직접 관련이없는 경우에도 가능하다면 좀 더 구체적으로 설명해 주시겠습니까? 감사합니다.

— Finsky

되는 공지 은 해당 경계 treewidth의 상기 관한 Tutte 다항식 어느에서 평가 될 수있다 이용하여 연산한다. 경우 접속되고, 그때 . $G$ $T(G;x,y)$ $(x,y)$ $O(n)$ $G$ $t(G)=T(G;1,1)$

— 라두 쿠티 카피 안
소스