Schwartz–Zippel lemma의 대체 증거

나는 Schwartz–Zippel lemma의 두 가지 증거 만 알고 있습니다. 첫 번째 (보다 일반적인) 증명은 wikipedia 항목에 설명되어 있습니다. 두 번째 증거 는 Dana Moshkovitz가 발견했습니다.

실질적으로 다른 아이디어를 사용하는 다른 증거가 있습니까?

기하학적 증거에 대한 또 다른 아이디어가 있습니다. 프로젝션 지오메트리는 필수 방식으로 사용합니다.

하자 $c \in \mathbb F^m$ hypersurface 바깥 아핀 지점이 $S$ . $c$ 를 중심으로 사용하여 무한 표면에 하이퍼 서피스를 투영합니다 . 즉, 모든 $x \in S$ 를 에 매핑합니다. c 와 x 를 $p(x)$통한 고유 한 선과 초평면이 무한대 인 교차 선 입니다. 무한대 점의 p 아래에있는 프리 이미지는 모두 같은 선에 있으므로 (다시 차원 1로 문제를 줄임) 가장 d 가 있습니다. 무한대의 초평면은 카디널리티 | F의 m -$c$$x$$p$$d$그래서 우리는 익숙한 상한을 얻습니다 | S | ≤d | F m - 1 | .$|\mathbb F^{m-1}|$$|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$

Per Vognsen의 답변에 대한 후속 조치로, Dana Moshkovitz의 증거는 Schwartz-Zippel Lemma의 약간 약한 버전에 대해서만 실제로는 쉬운 증거라고 제안합니다.

하자 정도의 비제 다항식 D , F는 차의 유한 필드 Q 및하자 X ∈ F를 N 포인트 수되도록 F ( X ) ≠ 0 . x를 통과하는 많은 뚜렷한 선 이 ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) 여러 개가 있으므로 F n − { x $f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}$$q$$x \in \mathbb{F}^n$$f(x) \neq 0$$(q^n-1)/(q-1)$$x$$\mathbb{F}^n-\{x\}$. 이러한 각 선에 대한 의 제한은 d의 단 변량 다항식입니다. 이는 x 에서 0이 아니므 로 최대 d 0을 갖기 때문에 0이 아닙니다 . 따라서,의 제로의 수 f를 최대로 인 D ( q 개의 N - 1 ) / ( Q - 1 ) . 비교를 위해 Schwartz-Zippel은 d q n - 1 의 더 강한 상한을 제공합니다 .$f$$d$ $x$$d$$f$$d(q^n-1)/(q-1)$$d q^{n-1}$

이 증거의 용이함을 감안할 때, 나는 그것이 민속적이라고 확신합니다. 그렇지 않으면 :) 누군가가 참조를 제공 할 수 있다면 고맙겠습니다.

Moshkovitz의 증거는 단순한 지오메트리를 기반으로하지만 종이는 그에 대해 명확하지 않습니다. 아이디어는 다음과 같습니다.

m 변수 의 차수 다항식 은 F m 의 초 표면을 잘라냅니다 . 초 표면과 독립 선의 교차점 (즉, 교차점이 전체 선이 아님)에는 최대 d 개의 점이 있습니다. 초 표면과 무관 한 방향을 찾을 수있는 경우 해당 방향의 평행선으로 F m 을 엽화 하고 각 선의 교차점을 계산할 수 있습니다. foliation가에 초평면의 동형 방향의 직교 보완에 의해 매개 변수화 F의 m - 1 모두에서 hypersurface 포인트의 총 수 있도록, F의 m은 가장에있다 D | $d$$m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^{m-1}$$\mathbb F^m$ .$d\ |F|^{m-1}$

이것은 비슷한 선을 따라 다른 증거가 작동 할 수 있음을 나타냅니다.

편집 : Arnab의 증거가 Moshkovitz의 증거와 어떤 관련이 있는지에 대해 조금 이야기하고 싶습니다. 그는 초 표면 바깥 쪽을 가리키고 그 점을 통과하는 선의 연필을 고려합니다. Moshkovitz는 평행선 패밀리를 고려합니다. 다르게 보이지만 실제로는 동일합니다! 평행 패밀리는 무한대의 점을 통과하는 선의 연필입니다. Arnab의 대수는 먼저 다항식의 균질화를 수행하고 을 꽂아 무한대에서 초평면으로 제한하는 경우 그대로 적용 합니다.$w = 0$

편집 : 새로운 (완전히 관련이없는) 증거에 대한 다른 대답을 참조하십시오.

시도 1 :

Arora / Barak의 저서 Lemma A.36 (529 페이지)을 보셨습니까 ? 거의 반 페이지이며 유도를 기반으로합니다.

책에 액세스 할 수없는 경우 여기에서 증거를 수행 할 수 있습니다.

시도 2 :

무엇에 대한 슈왈츠-Zippel 보조 정리의 호기심 역사 ? 그중에서도 1977 년으로 거슬러 올라간 DeMillo-Lipton의 논문 이 인용 되었습니다. 다른 논문들도 이름이 붙여지고 비교됩니다.

시도 3 :

다음과 같은 MathOverflow 주제도 관심이있을 수 있습니다 . 다항식 아이덴티티 테스트를위한 P / poly 알고리즘 .

슈워츠 - Zippel 보조 정리는이 논문의 제 4와 같이 노가 아론과 졸탄 퍼디의 정리의 특별한 경우이다 : 유한 그리드의 다항식의에서 제로 및 정리 슈워츠의 새로운 증거를 제공한다는의 따라서 새로운 증거 -지펠. 현재, 나는 6 가지 다른 증거를 알고 있는데, 그중 2 가지가 논문에 나와 있고 다른 것들은 여기에서 참조됩니다.

Alon-Furedi 정리는 다음과 같이 말합니다.

하자 하자 필드 수 = Π를 N 난 = 1 I ⊂ F를 N 유한 그리드, 그리고하자 $F$$A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$ 않는 다항식 될 A에서 동일하게 사라집니다. 그리고 나서 F ( X ) ≠ 0 에 대한 적어도 최소 Π 의 Y I의 원소 X $f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$$A$$f(x) \neq 0$$\min \prod y_i$$x \in A$최소는 모든 양의 정수를 통해 수행되는 곳 가진 Σ N 난 = 1, Y 난 = Σ를 N 난 = 1 # I - ℃에서 F를 .$y_i \leq \# A_i$$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

여기에서 라고 가정 하고 최소값을 계산하면 (종이에 언급 된 Bins in Bins 항목을 사용하여 쉽게 수행 할 수 있음) 필드 (또는 도메인)에서 Schwartz-Zippel lemma를 얻습니다. .$\deg f < \min \#A_i$

Schwartz–Zippel lemma의 원래 공식은 다음 분야에만 적용됩니다.

렘마 (Schwartz, Zippel).
하자 수 개의 정도의 다항식 비제 D ≥ 0 필드 위에 F . 하자 S가 한정된 부분 집합 F 및하자 R 1 , R 2 , ... , R이 N 으로부터 독립적으로 균일하게 랜덤하게 선택 될 S . 그런 다음 Pr [ P ( $P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$F$$S$$F$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

임의의 정류 고리에 적합하도록 보조 정리를 재구성 할 수 있습니다.

렘마 (예르 바벡).
하자 총 정도의 다항식 비 제로 D ≥ 0 가환 환 이상, R . S 를 ∀ s , t ∈ S : ( ( ∃ u ∈ R : ( u ≠ 0 ∧ s u = t) 로 R 의 유한 서브 세트라고 하자$P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$R$$S$$R$ 및 수 있도록 , R 1 , R 2 , ... , R , N은 독립적으로 균일하게 랜덤하게 선택 될 S . 그런 다음 Pr [ P ( r 1 , r 2 , … , r n ) = 0 ] ≤ $\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Wikipedia 의 증거 의 이점은 여기에서 Emil Jeřábek이 주목하고 해결 한 임의의 교환 고리에 대해 개혁 이 적용된다는 것을 일반화한다는 것 입니다.

이것은 일반적인 정류 고리에 대한 재 형성을 증명하고, 필드에 대한 정규 공식을 결과적으로 구함으로써 슈바르츠-지펠 (Schwartz-Zippel) 정리의 대안 적 증거를 제공한다.