행렬의 부호 순위 근사

+ 1 행렬 A의 부호 랭크 -1 항목은 같은 부호 패턴 (갖는 행렬 B의 (레알 이상) 최소 랭크 인, 즉 I J B의 난의 J > 0 모든 I , j ). 이 개념은 의사 소통의 복잡성과 학습 이론에서 중요합니다.$A_{ij}B_{ij}>0$$i,j$

내 질문은 : 행렬의 부호 순위를 인수 내로 근사하는 알려진 (subexponential time) 알고리즘이 있습니까?$o(n)$

(스펙트럼 규범 측면에서 부호 순위에서 Forster의 하한을 알고 있지만 일반적으로 보다 근사 비율이 더 우수하지 않습니다 .)$\Omega(n)$

나는 이것이 공개적인 질문이라고 믿는다.

"근사 순위에 대한 근사 알고리즘" 에서 Lee와 Schraibman은 다항식 시간 알고리즘에 의해 근사 순위 를 일정한 계수로 근사 할 수 있음을 보여준다 . 이렇게하려면, 그들이 semidefinite 프로그래밍 수량과 관련 하여 근사 순위에 α가 촬영 1보다 약간 유한 매개 변수의 큰 α를 무한대의 한계는 부호 순위를 산출하지만, 그 결과는 다음에 아무것도 제공하지 않습니다 환경.$\gamma_2^\alpha$$\alpha$$\alpha$

$O(n/\log n)$$d$$S$

• $M$$S$$\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
• $S$$d$

$M$$O(n^{1-1/d}/d)$$d = \Theta(\log n)$