직경을 선형 시간으로 계산할 수있는 그래프 클래스

리콜 직경이 그래프의 있는 긴 최단 경로의 길이 . 그래프가 주어지면, 계산을위한 명백한 알고리즘 은 모든 쌍 최단 경로 문제 (APSP)를 해결하고 발견 된 최장 경로의 길이를 반환합니다. $G$ $G$ $\text{diam}(G)$

APSP 문제는 여러 그래프 클래스에 대해 최적의 시간 으로 해결 될 수있는 것으로 알려져 있습니다. 일반 그래프의 경우, 시간에 실행되는 대수 그래프 이론적 접근이 있으며 , 여기서 은 행렬 곱셈의 경계입니다. 그러나 직경을 계산하는 것은 Yuster 가 보여주는 것처럼 APSP와 비판적으로 연결되어 있지 않습니다 . $O(n^2)$ $O(M(n) \log n)$ $M(n)$

선형 시간과 같이 지름을 훨씬 빠르게 계산할 수있는 사소한 그래프 클래스가 있습니까?

특히 화음 그래프와 블록 그래프와 같은 화음 그래프의 하위 클래스에 관심이 있습니다. 예를 들어, 가 클리크 트리로 독특하게 표현 될 수 있다면 , 코드 그래프 의 직경은 시간 으로 계산 될 수 있다고 생각합니다 . 이러한 그래프는 ur-chordal 라고도 합니다. $G$ $O(n+m)$ $G$

graph-theory graph-algorithms shortest-path

— 유호
소스

지름 계산을 위해, 클릭 한 나무가 주어지면 화음 그래프는 나무와 거의 같은 동작을합니다. 마찬가지로, 구간 그래프에서 모든 AT-free 그래프에 존재하는 지배 쌍은 반드시 직경을 결정합니다.

— Yixin Cao

@YixinCao 그러나 일반적으로 화음 그래프가 가질 수있는 별개의 클리크 트리의 수는 꼭짓점의 수에 기하 급수적입니다. 또한, 모든 클리 블 트리에서 직경이 동일하다고 생각하지 않습니다. 나는 이것이 문제라고 생각하지만, ur-chordal 그래프에서 clique tree의 지름은 모호하지 않습니다. 다른 것을 염두에 두셨습니까?

— Juho

나는 화음의 지름이 클리크 트리의 지름과 같다고 말하는 것이 아닙니다. (의 스타

정점의 경로 파벌 트리 가질 수

노드를.) I 그래프의 직경이 파벌 나무에 나뭇잎의 일부 쌍 (그것의 모든 단체적 정점) 사이에 있어야합니다입니다 무엇을 의미.

k + 1

$k+1$

k

$k$

— Yixin Cao 2016 년

@YixinCao 좋아, 이제는 더 잘 이해합니다. 그럼에도 불구하고 (빠른) 알고리즘은 여전히 명확하지 않습니다. 추가 세부 사항이나 참조 사항이 있으면 언제든지 문의하십시오!

— Juho

답변:

정점의 편심 $v$ 부터 최장 최단 경로의 길이 $v$ . 지름은 모든 정점에 대한 최대 편심입니다. 정점의 모든 BFS는 편심을 설정합니다. 따라서 효율적인 직경 측정을위한 핵심 아이디어는 그래프를 사전 처리하여 작은 정점 집합을 찾는 것입니다.

사전 정점 탐색을 실행 하면 최종 정점은 종종 편심이 높습니다. 특히, 화음 그래프의 직경보다 최대 1 배 적은 편심을 보장합니다. 구간 그래프와 같은 화음 그래프의 일부 서브 클래스의 경우 최대 편심이 보장됩니다. 이것은 $\{\text{AT},\text{claw}\}$ -free 그래프 와 같은 비-코드 클래스에도 적용됩니다 .

LBFS와 BFS는 그래프의 크기에서 모두 선형이지만 물론 $m = \Omega(n^2)$ (예 : $K_n$ )이면 런타임은 $o(n^2)$ 가 아닙니다 . 당신의 논의는 아마도 당신이 아마 대신 선형 알고리즘 $O(m+n)$ 원한다는 것을 암시합니다 . $o(n^2)$

$(\text{rising sun}- K_2)$

_{(출처 : graphclasses.org )}

Feodor F. Dragan, Falk Nicolai 및 Andreas Brandstädt, LexBFS 순서 및 그래프의 위력 , WG 1996, LNCS 1197, 166–180. 도 : 10.1007 / 3-540-62559-3_15

$\log n$

Derek G. Corneil, Lexicographic Breadth First Search – A Survey , WG 2004, LNCS 3353, 1–19. 도 : 10.1007 / 978-3-540-30559-0_1

— 안드라 살 라몬
소스

O (n + m)

$O(n+m)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

질문에서 언급 된 블록 그래프는 거리 유전입니다. 거리 유전 그래프의 직경을 계산하기위한 선형 시간 알고리즘은 [1]에 제시되어 있습니다 (Theorem 5 참조).

[1] Dragan, Feodor F. 거리 유전 그래프에서 지배적 인 도둑. 1994 년 스프링거 베를린 하이델베르크

— 유호
소스