긍정적 인 토폴로지 순서, 3

n x n 행렬이 있다고 가정합니다. 상위 삼각 행렬을 얻도록 행과 열의 순서를 바꿀 수 있습니까?

이 질문은이 문제에 의해 유발됩니다 : 긍정적 인 위상 순서

원래의 결정 문제는 이것만큼 어렵 기 때문에 NP- 완전성 결과로도 해결할 수 있습니다.

편집 : 라즐로 Vegh와 안드라스 프랭크는 해당 문제에 대한 내 관심은 군터 기계적으로 질문이라고 : http://lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_uniquely_matchable_bipartite_graph

편집 : 원래 문제의 축소는 다음과 같습니다. DAG에 두 수준 만 있다고 가정하면 행렬의 행과 열에 해당합니다. 또한 가중치가 +1 인 단일 노드가 있습니다. 하위 레벨의 다른 모든 사람은 가중치 -1과 상위 레벨 +1을 갖습니다.

문제는 NP- 완전한 것으로 판명되었습니다. 자세한 내용은 여기 와 여기를 참조하십시오 . 짧은 요약:

Dasgupta, Jiang, Kannan, Li 및 Sweedyk에 의해 문제가 NP- 완전한 것으로 감소 된 감소 : 이분 그래프 G와 정수 k가 주어질 때, 유일하게 일치 할 수 있어야합니다. Stéphane Vialette에 의해 두 클래스에 nk 분리 노드를 추가하면이 문제의 이분 고유 일치 버전으로 줄어 듭니다.

주의 : 이것은 추측과 의견에 근거한 부분 답변입니다! David Eppstein의 더 일반적인 문제는 NP- 완전한 반면, 이것은 P에 있습니다.

$(A \cup B, E)$$|A|=|B|=n$

• 2 개의 완벽한 일치 항목을 포함해서는 안됩니다.
• $\le (1, 2, ..., n)$

지금까지 그래프가 이러한 조건을 충족하지만 UPMX가 아닌 예제를 찾을 수 없었습니다. 이 경우 충분할 수 있습니다. 다음 알고리즘으로이를 증명할 수 있습니다.

1. 그래프에 일치하는 항목이 1보다 크면 "UPMX 아님"을 반환
2. 그래프가 학위 조건에 실패하면 "UPMX 아님"을 리턴하십시오.
3. 그래프가 1과 완벽하게 일치하면 "UPMX"를 반환합니다.
4. 그렇지 않으면 UPMX임을 알 수 있습니다. 아마도 다음 알고리즘이이를 증명할 수 있습니다.
   • $\le \tbinom{n+1}{2} - 2$
   • 추가가 완벽하게 일치하지 않고 학위 조건을 위반하지 않는 새로운 가장자리 e를 찾으십시오. 그래프에 e를 더하다
5. 이제 그래프에는 모서리가 있고 완벽하게 일치하지 않으며 정도 조건을 충족합니다. 나는 그것이 UPMX라는 것을 보여주는 것이 어렵지 않다고 생각하므로 원본 그래프도 마찬가지였습니다.$\tbinom{n+1}{2} - 1$

Hall의 정리를 사용하여 어떤 새로운 모서리가 완벽한 조화를 이루는 지 특성화 할 수 있으며, 어느 새 모서리가 학위 범위를 위반하는지 특성화하는 것은 어렵지 않습니다. 불행히도 올바른 유형의 가장자리가 항상 존재한다는 것이 사실 일지라도 나는 그것을 증명할 수 없었습니다.

독립적 인 행-열 순열 Fertin, Rusu 및 Vialette에 의해 삼각 행렬을 얻는 이 논문 은 문제가 이진 정방 행렬에 대해 NP- 완전 함을 보여줍니다.

문제는 NP-complete이지만 문제를 해결하는 알고리즘은 어디에 있습니까? 많은 예제에서 작동하는 하나의 알고리즘이 있지만 항상 작동한다는 것을 보여줄 수는 없습니다.