메트릭 그래프에서 모든 유도 하위 그래프 G [S]에 대해 MST (G [S]) 최대화

이 문제는 전에 연구 되었습니까?

메트릭 무 방향 그래프 G (가장자리 길이가 삼각형 부등식을 만족함)가 주어지면 MST (G [S])가 최대화되도록 정점 세트 S를 찾으십시오. 여기서 MST (G [S])는 S.이 문제는 이전에 연구 된 적이 있습니까? NP- 하드입니까? 고마워

정점 커버를 줄임으로써 NP가 완벽합니다.

는 최적의 정점 커버를 찾기 어려운 그래프라고 하자 . G의 각 꼭짓점에 새로운 차수 한 꼭짓점을 첨부하여 두 배의 꼭짓점으로 새로운 그래프 H 를 만듭니다 . 돌려 H를 인접한 꼭지점 사이의 거리를 결정하여 거리 공간에 동일한 1 비 인접한 꼭지점 사이의 거리가 동일 $G$$H$$G$$H$$1$$2$ . 이 미터법 공간에서, 유도 된 서브 그래프의 최소 스패닝 트리의 가중치는 버텍스 수에 서브 그래프의 연결된 구성 요소 수에 1을 뺀 값을 더한 값과 같습니다.

가장 무거운 MST를 가진 하위 그래프에는 모든 정점 정점이 포함되어 있다고 가정 할 수 있습니다. 이러한 정점 중 하나를 하위 집합에 추가하면 구성 요소의 수가 줄어들 수 없기 때문입니다. 따라서 하위 그래프를 형성하기 위해 제거 된 정점은 의 하위 집합입니다 . 또한 제거 된 정점이 G 의 정점 커버를 형성한다고 가정 할 수 있습니다 . 예를 들어, 정점 커버를 형성하지 않는 정점을 제거하여 다른 유도 서브 그래프가 형성되고, u v 가 커버 되지 않은 모서리 인 경우, v 를 제거 하면 적어도 하나의 유도 서브 그래프가됩니다. v 에 첨부 된 H의 1 차 정점에 의해 생성 된 정점이지만 하나 이상의 연결된 구성 요소 .$G$$G$$uv$$v$$H$$v$

따라서 최적 서브 그래프 의 정점 커버 제거함으로써 형성된다 G를 . 이러한 서브 그래프는 정확히 n 개의 성분 (각각 H에 1 개씩 추가 된 각 정점에 대해 하나씩 또는 G 의 정점에 연결됨 )과 2 n - k 와 동일한 수의 정점을 갖습니다. 여기서 n = | V ( G ) | 및 k는 상기 커버의 크기이다. 따라서 MST의 무게는 3 n - k + 1 입니다. 이를 최대화하려면 k 를 최소화해야합니다 .$H$$G$$n$$H$$G$$2n-k$$n=|V(G)|$$k$$3n-k+1$$k$