Haskell의 seq 연산과 호환되는 기능에 대한 eta-equivalence가 있습니까?

Lemma : 에타와 동등하다고 가정하면 (\x -> ⊥) = ⊥ :: A -> B.

증명 : ⊥ = (\x -> ⊥ x)에타 동등성 및 (\x -> ⊥ x) = (\x -> ⊥)람다 감소.

Haskell 2010 보고서, 섹션 6.2 seq는 두 가지 방정식으로 함수를 지정합니다 .

seq :: a-> b-> b
순차 ⊥ b = ⊥
a ≠ ⊥ 인 경우 seq ab = b

"결과적으로 ⊥는 \ x-> ⊥와 같지 않다. seq는 그것들을 구별하는데 사용될 수 있기 때문이다."

내 질문은, 이것이 실제로 정의의 결과 seq인가?

암묵적인 주장은 seqif이면 계산할 수없는 것 같습니다 seq (\x -> ⊥) b = ⊥. 그러나 나는 그런 seq것을 계산할 수 없다는 것을 증명할 수 없었습니다 . 나에게 그러한 것은 seq단조롭고 연속적이며 계산 가능한 영역에 그것을 넣습니다.

seq와 같은 구현 알고리즘은 ⊥ 로 시작 하는 도메인을 열거하여 어떤 x위치 를 검색하여 작동 할 수 있습니다 . 그러한 구현은 가능하더라도 다형성 을 만들고 싶을 때 꽤 털이 나옵니다.f x ≠ ⊥fseq

증거는 전혀 계산할 수 없다는 것을 거기에 seq그 식별 (\x -> ⊥)에 ⊥ :: A -> B? 또한, 일부 건설이 seq식별 않는 (\x -> ⊥)로는 ⊥ :: A -> B?

먼저 ⊥ 를 λ xseq 와 구별 하는 방법에 대해 명시 적으로 설명하겠습니다 . ⊥ :$\bot$$\lambda x . \bot$

bottom :: a
bottom = bottom

eta :: a -> b
eta x = bottom

-- This terminates
fortytwo = seq eta 42

-- This does not terminate
infinity = seq bottom 42

따라서 Haskell 및 λ x 에서 실험적인 사실입니다 . ⊥는 운영 체제는 구별된다. Haskell이 계산하기 때문에 계산할 수 있는 사실이기도 합니다. 하스켈에 대해 너무 많은. 하스켈 문서의 특정 문구에 대해 질문하고 있습니다. 나는 그 말을 읽어 두 주어진 방정식을 만족하기로되어 있지만, 그 두 방정식의 정의에 대한 충분하지됩니다 . 내가 당신에게 (단순히 입력)의 두 가지 모델을 제공 할 수 있습니다 : 여기 왜 λ -calculus하는 계산 가능하고 만족 주어진 방정식,하지만 모델 중 하나에 ⊥ 및 λ X . $\bot$$\lambda x . \bot$seqseqseq$\lambda$seq$\bot$$\lambda x . \bot$ 다른 한편으로는 동의하지 않지만 동의합니다.

연속 함수의 영역 에서 표현식이 해석 되는 간단한 도메인 이론적 모델에서 [ D → E ] 우리는 ⊥ = λ x 입니다. 분명히 ⊥ . 효과적인 Scott 도메인 등을 가져 와서 모든 것을 계산 가능하게 만드십시오. 그러한 모델에서 쉽게 정의 할 수 있습니다.$\lambda$$[D \to E]$$\bot = \lambda x . \bot$seq

⊥ 와 λ x 를 구별 하는 calculus 모델을 가질 수도 있습니다 . ⊥ 다음 물론 η - 규칙을 물을 수 없습니다. 예를 들어, 우리는 도메인의 기능을 해석하여이 작업을 수행 할 수 있습니다 [ D → E ] ⊥ , 즉, 별도의 바닥 함수 공간 도메인 연결. 이제 ⊥ 는 [ D → E ] ⊥ 의 맨 아래 이고 λ x 입니다. ⊥ 는 바로 위에있는 요소입니다. 그들은 둘 다 평가하기 때문에 응용 프로그램으로 구별 할 수 없습니다$\lambda$seq$\bot$$\lambda x . \bot$$\eta$$[D \to E]_\bot$$\bot$$[D \to E]_\bot$$\lambda x . \bot$ , 당신이 무엇을 적용하든 상관없이 (확장자는 동일합니다). 그러나 우리는도메인 간지도를 가지고 있으며 다른 모든 요소와 바닥을 구별합니다.$\bot$seq

seq인용 하는 사양 은 그 정의 가 아닙니다 . Haskell 보고서를 인용하려면 "seq 함수는 다음 방정식으로 정의됩니다 . [및 다음에 제공하는 방정식]".

seq (\ x-> ⊥) b = ⊥ 인 경우 seq를 계산할 수없는 것이 좋습니다.

이러한 동작은의 사양을 위반합니다 seq.

중요한 seq것은 다형성 이기 때문에 seq두 매개 변수 중 하나에서 해체 자 (투영 / 패턴 일치 등)로 정의 할 수 없습니다.

⊥ :: A-> B로 (\ x-> ⊥)를 식별하는 계산 가능한 seq가 없다는 증거가 있습니까?

인 경우 seq' (\x -> ⊥) b첫 번째 매개 변수 (함수)를 일부 값에 적용 한 다음 ⊥을 얻을 수 있다고 생각할 수 있습니다. 그러나 파라 메트릭 다형성 유형으로 인해 seq함수 값을 사용하여 첫 번째 매개 변수를 식별 할 수는 없습니다 (일부 사용하는 경우에도 마찬가지 임 seq). 매개 변수는 매개 변수에 대해 아무것도 모른다는 의미입니다. 또한, seq표현을 절대로 "이것이 ⊥입니까?"라고 결정할 수 없습니다. (참조, Halting 문제), seq단지 그것을 평가하려고 시도 할 수 있으며, 그 자체는 ⊥로 분기됩니다.

어떤 seq일은 다음, (아니 완전히하지만 최상위 생성자에 "약한 머리 정규형"[1], 즉에) 첫 번째 매개 변수를 평가하고 두 번째 매개 변수를 반환하는 것입니다. 첫 번째 매개 변수가 ⊥(즉, 비 종료 계산) 발생하면이 seq를 평가하면 종료되지 않습니다 seq ⊥ a = ⊥.

[1] seq가 존재하는 자유 정리-요한, 보이 그 랜더 http://www.iai.uni-bonn.de/~jv/p76-voigtlaender.pdf

$\lambda x.\, \bot$$\lambda x.\, \bot$

Samson Abramsky는 오래 전에이 문제를 고려하여 " The Lazy Lambda Calculus " 라는 논문을 썼습니다 . 따라서 공식적인 정의를 원한다면 여기가 보일 것입니다.

λ x를 증명. Ω ‌ ≠ Ω in은 Abramsky가 게으른 람다 미적분학 이론 ( Uday Reddy가 이미 인용 한 논문의 2 페이지)에 대해 설정 한 목표 중 하나입니다 . 정의 2.7에서, 그는 에타 감소 λ x를 명시 적으로 논의한다. M x → M은 일반적으로 유효하지 않지만 모든 환경에서 M이 종료되면 가능합니다. 그렇다고해서 M이 전체 함수 여야한다는 의미는 아닙니다. M을 평가하는 것만 종료해야합니다 (예 : 람다로 축소).

귀하의 질문은 실제적인 관심사 (성능)에 의해 동기 부여 된 것으로 보입니다. 그러나 Haskell Report가 완전히 명확하지는 않지만 λ x와 같다는 의심이 듭니다. with ‌을 사용하면 Haskell을 유용하게 구현할 수 있습니다. Haskell '98을 구현했는지 여부는 논란의 여지가 있지만, 언급이 주어지면 저자가 그 사건을 의도 한 것은 분명합니다.

마지막으로 seq는 임의의 입력 유형에 대한 요소를 생성하는 방법은 무엇입니까? (QuickCheck가 임의 유형 클래스를 정의한다는 것을 알고 있지만 여기에 이러한 제약 조건을 추가 할 수는 없습니다). 이는 파라 메트릭을 위반합니다.

업데이트 : Haskel에 유창하지 않기 때문에이 권리를 코딩하지 못했습니다.이를 수정하면 중첩 된 runST영역 이 필요한 것 같습니다 . ST 참조에서 단일 참조 셀을 사용하여 이러한 임의의 요소를 저장하고 나중에 읽고 보편적으로 사용할 수 있도록했습니다. 매개 변수는 break_parametricity아래를 정의 할 수 없다는 것을 증명하지만 (예 : 오류를 반환하는 경우 제외) 제안 된 시퀀스가 ​​생성하는 요소를 복구 할 수 있습니다.

import Control.Monad.ST
import Data.STRef
import Data.Maybe

produce_maybe_a :: Maybe a
produce_maybe_a = runST $ do { cell <- newSTRef Nothing; (\x -> writeSTRef cell (Just x) >> return x) `seq` (readSTRef cell) }

break_parametricity :: a
break_parametricity = fromJust produce_maybe_a

필자는 여기에 필요한 파라 메트릭 증거를 공식화하는 데 약간의 애매함을 인정해야하지만, 비공식적 인 파라 메트릭 사용은 Haskell에서 표준입니다. 하지만 데릭 드레 이어의 저술에서 필요한 이론이 지난 몇 년 동안 빠르게 해결되고 있다는 것을 알게되었습니다.

수정 :

• ML과 같은 명령형 및 유형이 지정되지 않은 언어로 연구되는 확장 기능이 필요한지 또는 고전적인 파라 메트릭 이론이 하스켈을 포함하는지 여부조차 확실하지 않습니다.
• 또한 나는 데릭 드레 이어 (Dreek Dreyer)에 대해 언급했는데, 나중에 나중에 Uday Reddy의 작품을 만났기 때문에 "Reynolds의 본질"에서만 최근에 알게되었습니다. (나는 지난 달 정도에 파라 메트릭에 관한 문헌을 읽기 시작했습니다.)