PLS의 문제에 대한 로컬 옵티마의 수를 계산하는 것이 얼마나 어렵습니까?

11

A에 대한 다항식 지역 검색 문제 , 우리는 적어도 하나 개의 솔루션 (현지 최적의) 존재해야한다는 것을 알고있다. 그러나 더 많은 솔루션이 존재할 수 있는데, PLS 완료 문제에 대한 솔루션 수를 계산하는 것이 얼마나 어려운가? 내가하고 특히 관심이 의사 결정 문제에서 : 이 PLS-전체 문제의 인스턴스가 두 개 이상의 솔루션이 있습니까?

복잡성은 우리가 선택한 어떤 PLS- 완전 문제에 달려 있습니까? 그렇다면 특히 가중 2SAT에 관심이 있습니다 ([SY91] 및 [Rou10]에 정의 된대로). 나는 2SAT에 대한 만족스러운 솔루션의 수를 세는 것이 # P- 완전하다는 것을 알고 있지만, 언뜻보기에는 가중 2SAT의 로컬 최적화와 2SAT에 대한 솔루션이 공통점이 많지 않은 것처럼 보입니다.

또한 PLS의 사촌 PPAD의 경우 [CS02]는 내쉬 평형의 수를 세는 것이 # P-hard라는 것을 알고 있습니다. 이것은 혼잡 게임에서 순수 전략 평형의 수를 계산하는 것과 같은 유사한 PLS 문제도 어렵다는 것을 암시합니다.

참고 문헌

[CS02] Conitzer, V. 및 Sandholm, T. (2002). 내쉬 평형에 대한 복잡성 결과. IJCAI-03 . cs / 0205074 .

[Rou10] T. 러프 가든. (2010). 컴퓨팅 평형 : 계산 복잡성 관점. 경제 이론 , 42 : 193-236.

[SY91] AA Schaeffer와 M. Yannakakis. (1991). 해결하기 어려운 간단한 지역 검색 문제. SIAM Journal on Computing , 20 (1) : 56-87.

cc.complexity-theory counting-complexity gt.game-theory

— 아르 템 카즈 나체 예프
소스

7

귀하의 질문에 부분적으로 답변 할 수 있습니다. PLS 전체 검색 문제의 로컬 최적화를 계산하는 것은 실제로 # P- 하드가 될 수 있습니다.

먼저 Yoshio가 지적했듯이 PLS에 검색 문제 있으며 그와 관련된 카운팅 문제는 # P- 완료입니다. ( 그러나 이 PLS- 완료 인지 는 알 수 없습니다 .) PLS- 완전 문제라고합니다. 다음 정의를 입력을하는 에 대한 입력에 대한 로컬 요청 최적 에 대하여 . 이 문제의 PLS 회원 상속 의 PLS-완전성 상속 하고, 계산 문제 상속의 #의 P-완성도 . $P_1$ $P_1$ $P_2$ $P'$ $(x, i)$ $i \in \{1, 2\}$ $x$ $P_i$ $P_1, P_2$ $P_2$ $P_1$

유사하게, (인공적인) PLS- 완전 문제를 구성하여 NP- 완료되어 하나 이상의 국소 최적이 있는지를 결정하는 것이 가능합니다. 이전 인수에서와 같이 PLS 문제 하여 이전에 PLS 완료 문제 을 "스테이플 링" 하고 부울 수식 를 입력하면 둘 이상의 연관된 로컬 최적 iff 를 만족 하는 문제 가 만족됩니다. $P_1$ $P_2$ $\psi$ $\psi$

이러한 종류의 구조 는 두 가지 경도 특성을 갖는 검색 문제 를 작성 하려고 하지만 영역이 두 조각으로 "분할" 되기 때문에 다소 불만족 스럽습니다 . 각 특성은 두 특성 중 하나만 가질 수 있습니다. 아래에서는 관련된 카운팅 문제가 # P-complete 인 PLS의 검색 문제 이 주어지고 PLS-complete 문제 주어지면 과 대한 카운팅만큼 어려운 PLS 문제 를 정의 할 수있는 방법을 보여줍니다. "인스턴스 별"방식으로 를 검색하십시오 . $Q$ $Q$ $P_1$ $P_2$ $Q$ $P_1$ $P_2$

즉, 우리는 나타낼 것이다 에 대한 계산 문제를 해결하도록 입력을하면 효율적 대한 계산 문제를 해결하기 위해 감소 입력에 및 대한 검색 문제 입력에서이 의 검색 문제 감소 입력에 . $Q$ $P_1$ $x$ $Q$ $x$ $P_2$ $x$ $Q$ $x$

프리젠 테이션의 단순화를 위해, 우리가 가정 모든 입력에되도록 설정된다 의 길이 과 관련된 후보-솔루션 공간 비트 스트링 위에 길이 일부 (그러나 서로 다른 주변 구조와 ). 하자 와 연관된 운동 함수일 . $P_1, P_2$ $x$ $n$ $x$ $y$ $n^c$ $c$ $P_1, P_2$ $F_i(x, y)$ $P_i$

입력 에서 의 검색 공간 은 튜플을 초과합니다 여기서 각 는 , 및 입니다. 에 대한 피트니스 함수 로 정의합니다 $x \in \{0, 1\}^n$ $Q$ $(y^1, y^2, z, b)$ $y^i$ $\{0, 1\}^{n^c}$ $z \in \{0, 1\}^{n^c + 1}$ $b \in \{0, 1\}$ $F(x, (y^1, y^2, z, b))$ $Q$

$F(x, (y^1, y^2, z, b)) := F_1(x, y^1) + F_2(x, y^2)$ 의 경우 , $b = 1$

$F(x, (y^1, y^2, z, b)) := ||y^1|| + ||z|| + F_2(x, y^2)$ 의 경우 . $b = 0$

(해밍 무게가 위입니다.)

의 이웃 구조의 경우 각 튜플 ( )을 모든 튜플 그런 $Q$ $(x, (y^1, y^2, z, 1))$ $b = 1$ $(x, ((y')^1, (y')^2, z', 1))$

(A) 는 및 P의 경우 에 따라 에 연결됩니다. $(x, y^i)$ $(x, (y')^i)$ $P_i$ $i = 1, 2$

(B) 는 최대 1 개의 좌표가 다릅니다. $z, z'$

인 튜플의 경우 을 모든 튜플 그런 $b = 0$ $(x, (y^1, y^2, z, 0))$ $(x, ((y')^1, (y')^2, z', 0))$

에 따라 (A ') 는 에 연결되고 AND $(x, y^2)$ $(x, (y')^2)$ $P_2$

(B ') 는 과 같이 최대 1 좌표가 다릅니다 . $z, z'$ $y^1, (y')^1$

(참고로 튜플 가진 사람이 절단된다 ). $b = 0$ $b = 1$

이것이 의 정의입니다 . 이웃은 필요에 따라 다항식 크기이므로 는 PLS입니다. $Q$ $Q$

주장 : 에 따른 길이 입력 에 대한 국소 최적화 는 정확히 다음 두 개의 분리 세트입니다. $n$ $x$ $Q$

(1) 모든 튜플 , 여기서 는 각각에 대해 의 국소 최적 값입니다 (그리고 는 임의 임) 및 ); 과, $(x, (y^1, y^2, z,1))$ $(x, y^i)$ $P_i$ $i = 1, 2$ $z$ $b = 1$

(2) 모든 투플 , 여기서 의 로컬 최적이다 , 어디 모두 1이고 입니다. $(x, 1^{n^c}, y^2, 1^n, 0))$ $(x, y^2)$ $P_2$ $z, y^1$ $b = 0$

동의하면 입력 대한 로컬 최적 이 로컬 최적 제공하기 때문에 의 PLS 경도 는 즉각적입니다. 의 (동일한 입력 ) 및 는 PLS-hard입니다. $Q$ $(x, (y^1, y^2, z,b))$ $Q$ $x$ $(x, y^2)$ $P_2$ $x$ $P_2$

또한, 수 있다는 우리의 항에서 다음과 에 대한 로컬 OPTIMA의 아래 동일 , 는 아래의 에 대한 국소 최적화의 수입니다 . 이제 는 에 있으므로 $N(x)$ $x$ $Q$ $(2^{n^c + 1} N_1(x) + 1) \cdot N_2(x)$ $N_i(x)$ $x$ $P_i$ $N_2(x)$ $[1, 2^{n^c}]$

$N_2(x) = N_2(x)$ mod mod mod 입니다. $2^{n^c + 1} = (2^{n^c + 1} N_1(x) + 1) \cdot N_2(x)$ $2^{n^c + 1} = N(x)$ $2^{n^c + 1}$

주어지면 얻을 수 있습니다 . 그런 다음 간단한 대수를 통해 얻을 수도 있습니다 . . 마찬가지로 # P-완전한 계산하기가 너무 인 . 따라서 대한 로컬 최적화를 계산하는 것은 # P- 완료 입니다 ( 대한 계산 은 동일한 인스턴스 에서 에 대한 계산으로 줄어 듭니다 ). $N_2(x)$ $N(x)$ $N_1(x)$ $N_1(x) = \left(\frac{N(x)}{N_2(x)} - 1\right)/2^{n^c + 1}$ $N_1(x)$ $N(x)$ $Q$ $P_1$ $Q$

"인스턴스 별"방식으로 로컬 옵티마의 고유성을 결정하는 PLS 경도와 NP 경도를 결합하는 방법을 모르겠습니다.

모든 PLS 완료 검색 문제가 #P 완료 카운트 문제를 일으키는 지 여부에 대해서는 이것도 모르겠습니다. 그것은 것 같다 모든 NP-완전한 의사 결정 문제 L 및 검증 모든 polytime에 대한 여부의 문제에 관한 대한 , 관련 증인 계산 문제 # P-완료됩니다. # P- 완전성 (P-completeness)은 사람들이 고려한 모든 특정 경우와 합리적으로 온화한 조건에서 유지되지만 일반적으로 공개됩니다. 이 토론을 참조하십시오 . $V(x, y)$ $L$

PLS가 완료된 것으로 알려진 보다 자연스럽고 구체적인 문제 경우, 계산에 적합한 일부 특수 속성이있는 Matching에서 로의 PLS 감소를 제공하여 지역 최적화를 계산하기위한 # P- 완전성을 설정할 수 있습니다 . 기존 기술로 충분할 수도 있습니다. 나는 확인하려고하지 않았다. $Q$ $Q$

— 앤디 드 커커
소스

당신보다 앤디! 이것은 매우 유용합니다. 나는 모든 것을 따르기 위해 그것을 몇 번 더 읽어야 할 것이다.

— Artem Kaznatcheev

7

이분 그래프에서 최대 일치 문제를 고려하십시오. 실행 가능한 솔루션 제품군은 모든 일치 항목으로 구성되며, 확장 경로를 찾아 로컬 검색을 수행합니다. 현재 매칭이 최대가 아닌 경우 다항식 시간에서 증강 경로를 찾을 수 있고 다항식 시간에서 최대 값을 확인할 수 있기 때문에 문제는 PLS에 속합니다. 모든 지역 최적은 최대 일치 (즉, 전역 최적)입니다. 그러나 이분 그래프에서 최대 일치 수를 계산하는 것은 # P-hard입니다.

다항식 시간에 국소 최적 값을 찾을 수 있기 때문에 문제는 PLS- 완전하지 않을 것입니다. 따라서 이것이 의도 된 답변이 아닌 것 같습니다 (귀하의 질문은 PLS 완료 문제로 제한됩니다). 그러나 하나의 로컬 최적을 효율적으로 찾을 수 있지만 로컬 옵티마 수를 계산하는 것이 어려울 수 있음을 지적해야합니다.

— 오카모토 요시오
소스

감사! 이것은 일반적으로 # P-hardness (그리고 내가 2SAT를 언급 한 이유)에 대해 알기에 좋은 일반 사항입니다. PLS- 완전 문제에 대한 답변을 얻을 수 있도록 질문을 계속 열어두고 기존 솔루션 중 하나 이상을 기존 솔루션과 구별하는 데 중점을 둘 것입니다 (실제로 가장 관심이있는 경우).

— Artem Kaznatcheev

1

최대 일치의 고유성을 효율적으로 확인할 수 있으므로 가장 관심있는 질문에 대한 답변이 만족스럽지 않습니다. 감사합니다.

— 오카모토 요시오