작동하지 않아야하는 Max-Cut 알고리즘, 이유가 불분명

좋아, 이것은 숙제 질문처럼 보일 수도 있고, 어떤 의미에서는 그렇습니다. 학부 알고리즘 수업에서 과제로 다음과 같은 고전을 썼습니다.

무 방향 그래프 주어지면 와 같은 컷 을 찾는 알고리즘을 제공하십시오 . 는 컷을 가로 지르는 모서리 수입니다. 시간 복잡도는 이어야합니다 .$G=(V,E)$$(S,\bar{S})$$\delta(S,\bar{S})\geq |E|/2$$\delta(S,\bar{S})$$O(V+E)$

어떤 이유로 든 다음과 같은 솔루션이 많이 있습니다. 이제 시간이 너무 많이 걸리므로 채점 문제는 아니지만 궁금합니다. "정확한"것으로 보이지는 않지만 반례에 대한 모든 시도가 실패했습니다. 여기있어:

1. 설정$S\leftarrow \emptyset$
2. 하자 그래프에서 최대 학위 정점 수$v$
3. 추가 에$v$$S$
4. 인접한 모든 모서리를 삭제$v$
5. 만약 2로 돌아 가기$\delta(S,\bar{S}) < |E|/2$

참고 5 단계는 원래의 그래프를 의미한다. 또한 4 단계를 건너 뛰었다면 분명히 잘못되었을 것입니다 (예 : 두 개의 고립 된 모서리가있는 삼각형의 결합).$E$

이제 간단한 증거는 다음과 같은 문제가 있습니다. 새로운 정점 추가 할 때 실제로 새 모서리 를 추가하는 동안 컷에서 모서리 ( 는 모서리가 삭제 된 그래프를 나타냅니다). 문제는 이것이 우리의 원인에 해로운 경우이 정점 의미한다는 것입니다.$v$$|S|$$d(v)$$d(v)$$v$ "사용 된"정도가 훨씬 높아서 "선택 했어야한다"는 것을 의미합니다.

이것은 잘 알려진 알고리즘입니까? 그것에 대한 간단한 반례가 있습니까?

^{2의 나의 이전 주장 은그래프에 이미 존재하는크기n2/4의 컷을 고려하지 않았습니다. 다음과 같은 구조는O(1) (결과적으로 math.stackexchange.com에서 엄격한 증거를 위해 질문을 만들었습니다)로 나타납니다($\frac{2}{c+6}$$n^2/4$분수.$O\left(\frac{1}{\log c}\right)$}

이 알고리즘은 연결이 끊어지고 크기가 다른 여러 완전한 그래프의 결합에서 잘못 수행됩니다. 우리는 개의 꼭짓점 에 대한 완전한 그래프를 K n으로 표시 합니다. 알고리즘의 동작을 고려 K N : 이는 반복적으로 아직 임의의 꼭지점을 추가 S 에 S - 순서는 중요하지 않도록 모든 이러한 정점과 동일. 알고리즘에 의해 S 에 아직 추가되지 않은 정점 수 설정 | ˉ S | = k , 그 순간 컷의 크기는 k ( n − k $n$$K_n$$K_n$$S$$S$$S$$|\bar{S}| = k$$k (n-k)$ 입니다.

0에서 1 사이의 x i 상수를 가진 여러 개의 연결이 끊어진 그래프 에서 알고리즘을 실행하면 어떤 일이 발생하는지 고려하십시오 . k i 가 i 번째 완전한 그래프 에서 S 에 아직없는 요소의 수인 경우 알고리즘은 반복적으로 추가됩니다. 가장 높은 k i를 가진 완전한 그래프에서 S 로의 정점은 임의로 관계를 끊습니다. 이 정점에 라운드 ''기초 추가 유도 할 것이다 S를 다음 알고리즘이 높은 모든 완전 그래프의 정점 부가 케이 = 케이 난을 모든 완전 그래프로부터 다음, $K_{x_i n}$$x_i$$k_i$$S$$i$$S$$k_i$$S$$k = k_i$라운드에서에, 그 때마다 라운드마다 그렇게됩니다. (이전 라운드 이후에 업데이트 된 k i 등 ) 등. 완전한 그래프에 S에 정점이 추가되면$k_i=k-1$$k_i$$S$

를 완전한 그래프의 수로 하자 . 하자 0 < X I ≤ 1 과 0 ≤ I ≤ C - 1 이 될 크기 개질제 I 번째의 완전한 그래프. 이 크기 수정자를 큰 순서에서 작은 순서로 정렬하고 x 0 = 1로 설정 합니다. 우리는 지금이있는 경우가 있음 C ' 와 그래프 정확히 k는 아직 첨가하지 요소 S를 , 그 때의 절단 후, 크기는 Σ의 (C)는 ' - 1 I = 0$c$$0 < x_i \leq 1$$0 \leq i \leq c - 1$$i$$x_0 = 1$$c'$$k$$S$ . 총 모서리 수는 | 전자 | = ∑ c − 1 i = 0 x i n ( x i n − 1 $\sum_{i=0}^{c'-1} k (x_i n - k) = k n \sum_{i=0}^{c'-1} (x_i) - c' k^2$ .$|E| = \sum_{i=0}^{c-1} \frac{x_i n (x_i n - 1)}{2} \approx \frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} x_i^2$

참고 의 이차 함수 K 따라서 최대를 갖는다. 그러므로 우리는 여러 지역에서 최대로 삭감을 할 것입니다. 예를 들어, c = 1 이면 최대 컷은 k = $k n \sum_{i=0}^{c'-1} x_i - c' k^2$$k$$c=1$ 크기의N$k=\frac{n}{2}$ . x1=1/2−ε가되도록x1을 선택합니다. 이는 두 번째 완전한 그래프가k=n에서이 로컬 최대 컷의 크기를 변경하지 않음을 의미합니다$\frac{n^2}{4}$$x_1$$x_1 = 1/2 - \varepsilon$$k=\frac{n}{2}$$k=3/8 n - \varepsilon'$$x_2 = 3/8 n - \varepsilon''$ ε X 1 = 1 / 2 , X 1 , N = $\varepsilon, \varepsilon', \varepsilon''$$\varepsilon$$x_1 = 1/2$$x_1 n = \frac{n}{2} - 1$$n$ 이 충분히 큰.

컷의 로컬 최대 값을 찾고 싶습니다. 우리 미분 하는 수득 . 동일시 범 크기의 컷을 제공 . k n ∑ c ′ − $k n \sum_{i=0}^{c'-1} (x_i) - c' k^2$$k$0k=$n \sum_{i=0}^{c'-1} (x_i) - 2 c' k$$0$n$k = \frac{n}{2c'} \sum_{i=0}^{c'-1} x_i$$\frac{n^2}{4c'} \left(\sum_{i=0}^{c'-1} x_i\right)^2$

하자 수 이전 단락에서 결정된 경우 . 우리는 - 갖는 모든 완전한 그래프 가이 로컬 최대 절단 의 보다 작고 따라서 절단 크기를 증가시키지 않도록 요구함으로써 공식이 유지되도록 할 것 입니다. 이것은 우리 가이 에서 컷을 가지고 있음을 의미합니다 k c ' = i x i n < $k_i$$k$$c'=i$I ' I ' > 난 케이 난 c는 케이 $x_i n < k_i$$i'$$i'>i$$k_i$$c$$k_i$ 에서 알고리즘에 의해 발견 된 다른 모든 컷보다 큰 합니다.

채우면 , 재귀 (및 일부 작은 )에 됩니다. 이 문제를 해결하면 : @Daniel Fisher의 파생에 대한 math.stackexchange.com의 내 질문을 참조하십시오 . 이것을 재발에 대한 통찰력을 사용하면 크기가 . 사용 이 중앙 이항 계수의 특성을 , 우리는이x i = $x_i n < k_i$εx0=$x_i = \frac{1}{2c'} \sum_{i=0}^{c'-1} x_i$$\varepsilon$$x_0 = 1$ N$x_i = \frac{\binom{2i}{i}}{4^i}$n$\frac{n^2}{4c'} \left(\sum_{i=0}^{c'-1} x_i\right)^2$$\frac{n^2}{4c'} \left(2c' \frac{\binom{2c'}{c'}}{4^{c'}}\right)^2 = n^2 c' \left(\frac{\binom{2c'}{c'}}{4^{c'}}\right)^2$$\lim_{c' \to \infty} c' \left(\frac{\binom{2c'}{c'}}{4^{c'}}\right)^2 = \frac{1}{\pi}$ (또한 참조 math.stackexchange.com에서 내 질문 ).

가장자리 수는 대략 . 알려진 속성으로 는 있습니다. 제출하면 최소한 이것은 무조건 로$\frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} x_i^2 = \frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} \left(\frac{\binom{2i}{i}}{4^i}\right)^2$ N$\frac{1}{\sqrt{4i}} \leq \frac{\binom{2i}{i}}{4^i}$ n$\frac{n^2}{2} \sum_{i=0}^{c-1} \left(\frac{1}{\sqrt{4i}}\right)^2 = \frac{n^2}{8} \sum_{i=0}^{c-1} \frac{1}{i}$$\frac{n^2}{8} \log c$$c$ 간다 무한대.

따라서 는 무한대로 갈 때 는 무조건 와 같습니다. 임의로 낮은 비율의 리턴 컷.$\frac{\delta(S, \bar{S})}{|E|}$ c| 전자$\frac{8}{\pi \log c}$$c$$|E|$

잠시 동안 생각하고 둘러 본 후에 Ami Paz가 제공 한 반례가 있습니다 .

을 짝수로하고 를 꼭짓점 (즉, 과 일치)과 의 합집합 인 그래프 라고 합시다.G K n n + 2 n / 2 + $n$$G$$K_n$$n+2$$n/2+1$ 에지).

이 그래프에서 알고리즘은 어떻게 실행됩니까? 임의의 순서로 클릭 부분에서 정점을 가져옵니다. clique에서 개의 정점 을 취한 후 , 컷의 크기는 입니다. 최대 값으로 , 크기를 그래프의 가장자리 수는k ⋅ ( n − k ) k = n / 2 n $k$$k\cdot (n-k)$$k=n/2$ N$\frac{n^2}{4}$$\frac{n^2}{2}+1$ 입니다.

규정 된 알고리즘은 도당에서 정점을 계속 추가하여 도당에서 남아있는 것이 단일 모서리 일 때까지 컷을 가로 지르는 모서리 수를 줄입니다. 현재로서는 보다 나은 것을 얻을 수 없습니다 .$\frac{n}{2}+2$