특성은 양호하지만 다항식 시간 알고리즘이없는 최적화 문제

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다음 형식의 최적화 문제를 고려하십시오. $f(x)$ 문자열 $x$ 를 유리수로 매핑하는 다항식 시간 계산 가능 함수라고 합시다 . 최적화 문제는 다음과 같습니다. 비트 문자열 대한 의 최대 값은 얼마입니까? $f(x)$ $n$ $x$

$g$

max_{x} f (x) = min_{y} g (y)

$\max_x f(x) = \min_y g(y)$

x

$x$

n

$n$

y

$y$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

수많은 자연스럽고 중요한 최적화 문제에는 이러한 미니맥 특성이 있습니다. 몇 가지 예 (특성에 기초한 정리는 괄호 안에 표시됨) :

선형 프로그래밍 (LP 이중성 THM), 최대 유량 (최대 유량 최소 잘라 THM), 최대 양자 매칭 (코니 - 홀 THM), 최대 비 양자 매칭 (관한 Tutte의 THM, Tutte-Berge의) 방향 그래프에서 최대 연결되지 않은 Arborescences ( Edmond 's Disjoint Branching Thm), 무 방향 그래프로 최대 스패닝 트리 패킹 (Tutte 's Tree Packing Thm), 숲 으로 덮인 최소 커버리지 (Nash-Williams Thm), 최대 다이렉트 컷 패킹 (Lucchesi-Younger Thm), 최대 2-Matroid Intersection (Matroid Intersection) THM), 최대 연결되지 않은 경로 (멩거의 THM) Partialally Ordered Set (Dilworth Thm) 및 기타 여러 제품의 Max Antichain .

이 모든 예에서 다항식 시간 알고리즘을 사용하여 최적을 찾을 수도 있습니다. 내 질문:

다항식 시간 알고리즘이 발견되지 않은 최소 최대 특성화에 대한 최적화 문제가 있습니까?

참고 : 선형 프로그래밍은 약 30 년 동안이 상태에있었습니다!

— 안드라스 파라고
소스

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어떤 기술적 의미에서는 . 한다고 가정 따라서 폴리 시간이 존재 및 되도록 IFF는 및 IFF . 이것은 의해 MINMAX 특징으로 개작 될 수 경우, 와 , 그렇지 않으면 경우 및 그렇지. 이제 우리는 입니다. $P = NP \cap coNP$ $L \in NP \cap coNP$ $F$ $G$ $x \in L$ $\exists y: F(x,y)$ $x \not\in L$ $\exists y: G(x,y)$ $f_x(y) = 1$ $F(x,y)$ $f_x(y) = 0$ $g_x(y) = 0$ $G(x,y)$ $g_x(y) = 1$ $max_y f_x(y) = min_y g_x(y)$

따라서 이러한 의미에서 알려져 있지만 알려지지 않은 문제는 귀하의 질문에 대한 답변으로 바뀔 수 있습니다. 예를 들어 팩토링 (즉, 가장 큰 팩터 의 번째 비트가 1 인지 여부의 결정 버전 ). $NP \cap coNP$ $P$ $i$

— 노암
소스

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나는 어떤 사람들 은 "좋은 특성화" 의 정의 로 를 사용하기까지 .

N P \cap c o N P

$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

— Joshua Grochow

이러한 문제의 목록은 mathoverflow.net/questions/31821/…을

— Rahul Savani

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시모어와 토마스 는 나무 폭의 최소-최대 특성을 보였다. 그러나 나무 너비는 NP-hard입니다. 그러나 이중 함수 는 짧은 인증서의 다항식 시간 계산 기능이 아니기 때문에 요구하는 특성 이 아닙니다. 이것은 NP 완료 문제에 피할 수 없을 것입니다. 그렇지 않으면 coNP에 NP- 완전 문제가 발생하여 NP = coNP 붕괴를 의미하므로 상당히 충격적인 것으로 간주합니다. $g$

treewidth 그래프의 트리 분해의 가장 작은 최소 폭과 동일 . 그래프의 트리 분해 트리 인 각 정점되도록 의 세트로 표지 의 정점 특성과 : $G$ $G$ $G$ $T$ $x$ $T$ $S(x)$ $G$

모든 에 대해 . $x \in V(T)$ $|S(x)| \leq k+1$
모든 의 합집합은 의 꼭짓점 집합입니다 . $S(x)$ $G$
마다 가 연결된 모든 에 의해 유도 된 의 하위 그래프 . $u \in V(G)$ $T$ $x$ $u \in S(x)$
모든 모서리 는 대한 일부 의 하위 집합입니다 . $(u, v) \in E(G)$ $S(x)$ $x \in V(T)$

모어 도마는 treewidth가 동일 하였다 가시 개수 의 최대 : 의 연결된 서브 그래프의 집합이되도록 되도록는 : $G$ $k$ $G$

각각의 두 하위 그래프는 서로 교차되거나 가장자리로 연결됩니다.
의 정점 세트 가 모든 하위 그래프에 충돌 하지 않습니다 . $k$ $G$

이러한 하위 그래프 모음을 주문 의 가시 나무라고합니다. $k$

"bramble number is at least "는 어떻게 문이며, 양자화가 기하 급수적으로 큰 집합을 갖는 방법에 주목하십시오 . 따라서 인증서를 쉽게 검증 할 수는 없습니다 (위에서 언급했듯이 실제로 큰 뉴스가 될 수있는 인증서가있는 경우). 상황을 더욱 악화시키기 위해 Grohe와 Marx 는 모든 대해 최소 순서의 모든 가시 가 기하 급수적으로 많은 하위 그래프로 구성 되도록 트리 폭 의 그래프가 있음을 보여주었습니다 . 또한 다항식 크기의 차수 가 있다는 것을 보여줍니다 . $k$ $\exists\forall$ $k$ $k$ $k^{1/2 + \epsilon}$ $k^{1/2}/O(\log^2 k)$

— 사쇼 니콜 로프
소스

1

감사합니다. 찾고있는 카테고리에 속하지 않더라도 매우 좋은 예입니다. treewidth에 대한이 최소-최대 정리는 1993 년에 출판되었으며, 그 당시 NP-completeness의 treewidth는 이미 알려져있었습니다. 따라서, 결과는 NP = coNP를 추측하는 이유가 될 수있다. 가시 나무 크기의 지수 하한이 그 역할에 의해 최종적으로 실격되었지만,이 하한은 16 년 후에 출판되었다.

— Andras Farago 2014

Andras는 당시 타격 세트가 일반적으로 NP-hard라는 것을 알았습니다 (Karp의 21 가지 문제 중 하나였습니다). 따라서 다항식 크기의 가시 나무를 사용하더라도 가시 나무 구조를 사용할 수 없다면 순서를 계산하는 것은 쉽지 않습니다. 그럼에도 불구하고 가시 나무의 크기가 이전에 조사되지 않았다는 것은 흥미 롭습니다.

— Sasho Nikolov

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패리티 게임, 평균 지불 게임, 할인 게임 및 단순 확률 론적 게임이이 범주에 속합니다.

그들 모두는 그래프에서 재생되는 무한한 2 인용 제로섬 게임이며, 플레이어는 정점을 제어하고 다음에 토큰이 어디로 갈지 선택합니다. 모든 사람들은 기억이없는 위치 전략에있어서 평형을가집니다. 즉, 각 플레이어는 각 역사의 정점과 상관없이 결정 정점에서 결정을 선택합니다. 한 플레이어의 전략이 주어지면 다른 플레이어의 최상의 반응을 다항식 시간으로 계산할 수 있으며 필요한 최소-최대 관계는 게임의 "가치"를 유지합니다.

이러한 문제의 자연적인 결정 변형은 NP 및 co-NP (실제로 UP 및 co-UP) 및 기능 문제로, 평형을 찾는 데 PLS 및 PPAD에 있습니다.

가장 잘 알려진 실행 시간을 가진 알고리즘은 하위 지수이지만 초 다항식입니다 (예 : , 여기서 은 게임 그래프의 정점 수입니다). $O(n^\sqrt{n})$ $n$

예를 들어

데이비드 S. 존슨. NP 완료 열 : 건초 더미에서 바늘 찾기. ACM 거래 알고리즘 3, 2, 24 조 (2007 년 5 월). DOI = 10.1145 / 1240233.1240247 http://doi.acm.org/10.1145/1240233.1240247

— 라훌 사 바니
소스