비가 중 그래프에서는 쉽지만 가중 그래프에서는 어려운 문제

비가 중 그래프와 가중 그래프 모두에서 다항식 시간으로 많은 알고리즘 그래프 문제를 해결할 수 있습니다. 일부 예는 최단 경로, 최소 스패닝 트리, 최장 경로 (지향 비순환 그래프에서), 최대 흐름, 최소 컷, 최대 일치, 최적의 arborescence, 특정 가장 조잡한 하위 그래프 문제, 최대 분리 된 지시 컷, 특정 그래프 클래스의 최대 경사, 최대 독립 특정 그래프 클래스, 다양한 최대 분리 경로 문제 등에서 설정됩니다.

에서 다항식 시간에 풀 수있는 몇 가지 (크게 아마 비록 적은 수의) 문제, 그러나있다 가중 경우,하지만 하드하게 (또는 오픈 상태가)에의 가중 경우. 다음은 두 가지 예입니다.

1. 주어진 -vertex 완전한 그래프 및 정수 K ≥ 1 , 스패닝 찾을 K 에지 가능한 최소 수의 서브 그래프를 -connected. 이것은 최적 그래프의 구조를 알려주는 F. Harary의 정리를 사용하여 다항식 시간으로 해결할 수 있습니다. 반면에, 모서리에 가중치가 부여되면 최소 가중치 k 연결 스패닝 하위 그래프 를 찾는 것은 N P -hard입니다.$n$$k\geq 1$$k$$k$$NP$

2. S. Chechik, MP Johnson, M. Parter 및 D. Peleg의 최근 (2012 년 12 월) 논문 ​​(예 : http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf 참조 )은 경로 문제를 고려합니다. 최소 노출 경로를 호출하십시오 . 경로에있는 노드의 수 있도록 지정된 두 노드 사이의 경로에 대한 다음 한 외모 플러스 경로에 이웃을 가지고 노드의 수는 최소이다. 이들은 제한된 정도 그래프 이는 가중 경우 다항식 시간 내에 해결되지만하게 될 수 있음을 증명 도 4. (주 바운드 심지어 함께 가중 경우 -hard : 기준이 질문에 대한 응답으로 발견 된 어떤 이 경로 문제가 복잡합니까? )$NP$

이 특성의 다른 흥미로운 문제점은 무엇입니까, 즉 가중치 버전으로 전환 할 때 "복잡성 점프"가 발생합니까?

근사화 알고리즘의 세계에는 정전 용량 된 정점 커버 문제가 있습니다. 주어 및 정 용량 C ( V ) 각각에 대해 V ∈ V 목표에 대한 최소 크기의 정점 덮개를 찾는 것이다 G 에 의해 덮여 에지 개수 여기서 V는 많아야이다 C ( V ) . 이 문제는 가중치가없는 경우 (즉, 정점 커버의 크기를 최소화하려는 경우) Ω ( log n )- 단단하지 않은 경우 상수 계수 근사값을 갖습니다.$G=(V,E)$$c(v)$$v \in V$$G$$v$$c(v)$$\Omega(\log n)$가중치 적용 사례에서 P = N P ) (각 정점의 가중치는 w ( v ) 이며 커버의 가중치를 최소화하려고합니다.$P = NP$$w(v)$

내가 가장 좋아하는 예는 독립적 인 지배 문제입니다 (주어진 그래프 및 정수 k , G 는 최대 k 개의 정점을 포함하는 최대 독립 세트를 가지고 있습니까?). Martin Farber ( 여기 참조 ) 로 인한 좋은 결과로 , 비가 중 버전은 코드 그래프에서 다항식으로 해결할 수 있습니다. Gerard Chang은 가중치 버전이 화음 그래프에 대해 NP- 완료임을 증명합니다 ( 여기 참조 ).$G$$k$$G$$k$

이분 그래프의 완전 매칭 문제는 이고 이분자 그래프의 정확한 무게 완전 매칭은 N P- 완료 입니다.$P$$NP$

모하마드 알 - Turkistany의 대답을 이어,이 다항식 시간 풀 수 비가 중 많은 문제가 설정 될 수 있음을 보인다 우리가 해결책이 있는지 묻는다면, 가중 경우 - 완전한를 정확하게 주어진 무게. 이는 서브 세트 합계 문제를 고려 된 작업으로 인코딩 할 수 있기 때문입니다.$NP$

예를 들어, 정확한 무게 완전 일치의 경우, 주어진 이중을 특정 일치의 가장자리에 할당하고 0 무게를 다른 모든 가장자리에 할당하여 완전한 이분 그래프를 입력으로 취할 수 있습니다. 이 가중치 그래프는 정확히 에 합한 가중치의 부분 집합이있는 경우에만 W 의 가중치가 정확히 일치 함을 쉽게 알 수 있습니다 . (그러한 하위 집합이 있으면 고정 일치에서 해당 가장자리를 가져 와서 완전한 이중 분할 그래프임을 사용하여 0 가중치 가장자리와 완벽하게 일치하도록 확장 할 수 있습니다.) 비슷한 간단한 트릭 다른 많은 문제에 대해서도 효과가있을 수 있습니다.$W$$W$

그래프 밸런싱 (Min Out-degree Orientation)은이 현상의 또 다른 예입니다. 이 문제에서 우리는 방향이없는 가장자리 가중치 그래프가 제공됩니다. 목표는 결과 digraphs (가중치) 최대 out-degree가 최소화되도록 가장자리 방향을 조정하는 것입니다.

스케줄링 시나리오에 의해 종종 문제가 발생합니다. 각 정점이 프로세서이고 각 모서리가 두 끝점 중 하나에서만 실행될 수있는 작업이라고 상상해보십시오. 모서리의 무게는 해당 작업의 길이이며 목표는 제작 시간을 최소화하는 것입니다.

모든 가중치가 1 또는 2 인 경우에도 문제는 NP-hard 및 APX-hard입니다 (Ebenlendr et al. "그래프 밸런싱 : SODA 2008의 관련없는 병렬 시스템 스케줄링의 특별한 경우"참조). 그러나 비가 중 그래프의 경우 P로 표시됩니다 (CATS 2008의 Asahiro et al. "그래프 클래스 및 그래프 방향의 복잡성이 최대 가중도를 최소화 함"참조).

어쩌면 이것은 단순한 사소한 예일 뿐이며, 퇴보 한 사례라고 생각할 수도 있지만 가장 먼저 떠오르는 것은 Traveling Salesman Problem (일반적으로 그래프가 완성 된 것으로 가정)입니다. 비가 중 버전은 Hamiltonian Cycle이며 완전한 그래프에는 사소한 것입니다.

지연 제약 조건 (일명 제약 된 최단 경로 문제)에서 최소 비용 경로를 찾는 것이 여기에 맞는 것 같습니다.

$G=(V,E)$$d:V\to\mathbb {N}^+$$c:\to\mathbb {N}^+$$D\in \mathbb {N}^+$$s,t\in V$

$s-t$$D$

$\forall v\in V:d(v) =1$$hop-count$

문제가 가중되면 제약 된 최단 경로 가되며 DAG에서도 NP가 완료된 것으로 알려져 있습니다.

FLIP 인접 지역의 Local Max Cut 문제는 ​​일반적인 정수 가중치 그래프에서 PLS 완료입니다.

AA Schaeffer와 M. Yannakakis. (1991). 해결하기 어려운 간단한 지역 검색 문제. SIAM Journal on Computing, 20 (1) : 56-87.

그러나 가장 큰 가중치가 그래프의 크기에서 다항식 인 경우, 각 개선이 잠재적 함수를 하나 이상 증가시키고 잠재적 함수가 증가하기 때문에 전위 (절단 가중치)에 대한 국부적 개선은 다항식 시간으로 수렴됩니다. 폴리 노미 바운드입니다. (일반적인 가중치를 사용하면 특정 시작 컷에서 로컬 개선을 통해 도달 할 수있는 솔루션을 찾는 것이 PSPACE- 완료입니다.)

다른 "잠재적 게임"에서도 비슷한 일이 발생합니다.

이동 판매원은 판매 된 그리드 그래프에서 열려 있지만 해밀턴주기 (비가 중 변형)는 다항식으로 알려져 있습니다.

열린 문제 프로젝트에 대한 두 가지 논의 :

http://cs.smith.edu/~orourke/TOPP/P54.html

에 2K_1없는 최대 컷 다항식 가중 최대 컷은 NP-완료됩니다.