전이 완료 / 경로 존재 오라클 계산

여기 에 전이 완료에 대해 몇 가지 질문 ( 1 , 2 , 3 ) 이 있었는데 , 이것이 이와 같은 것이 가능하다고 생각하게했습니다.

입력 지향 그래프를 얻는다고 가정하자 $G$" ?" 유형의 쿼리에 응답하고 싶습니다 . 즉, 그래프 의 전이 완료에서 두 정점 사이에 모서리가 있는지 묻습니다 . (등가 "의 경로가 에 에서 ?").$(u,v)\in G^+$$G$$u$$v$$G$

주어진 이후에 시간에 전처리를 실행 하고 시간에 쿼리에 응답해야 한다고 가정합니다 .$G$$f(n,m)$$g(n,m)$

분명히 (즉, 전처리가 허용되지 않는 경우 ) 인 경우 시간 의 쿼리에 응답하는 것이 가장 좋습니다 . ( 에서 DFS를 실행 하고 경로가 있으면 true를 리턴하십시오).$f=0$$g(n)=\Omega(n+m)$$u$$v$

또 다른 사소한 결과는 인 경우 전이 폐쇄를 계산 한 다음 쿼리에 응답 할 수 있다는 것 입니다.$f=\Omega(min\{n\cdot m,n^\omega\})$$O(1)$

중간에 뭔가는 어떻습니까? 전처리 시간과 같이 허용되는 경우 보다 빠른 쿼리에 응답 할 수 있습니까? 어쩌면 향상시킬 수 있습니까?$f=n^2$$O(m+n)$$O(n)$

또 다른 변형은 다음과 같습니다. 전처리 시간이 있지만 공간 만 있다고 가정하면 전처리 를 사용하여 보다 더 효율적인 쿼리에 응답 할 수 있습니까?$poly(n,m)$$o(n^2)$$O(n+m)$

그러한 질문에 대답 할 수 있는 트레이드 오프 에 대해 일반적으로 말할 수 있습니까 ?$f,g$

GPS 시스템에서 다소 유사한 트레이드 오프 구조가 고려되는데, 위치 사이의 모든 페어 단위 거리의 완전한 라우팅 테이블을 보유하는 것은 불가능하므로 부분 테이블을 저장하지만 전체 거리를 계산하는 동안 쿼리 속도를 크게 향상시키는 거리 오라클 아이디어를 사용합니다. 그래프 (보통 점 사이의 대략적인 거리 만 산출).

평면 그래프를위한 컴팩트 한 접근성 오라클

Mikkel Thorup : 평면 디 그래프의 도달 거리 및 대략적인 거리를위한 소형 oracles . J. ACM 51 (6) : 993-1024 (2004)

그러나 일반 그래프 (희소 그래프도)에는 "단단"

Mihai Patrascu : 셀 프로브 하단 경계의 환경 통합 . SIAM J. 컴퓨팅 40 (3) : 827-847 (2011)

그럼에도 불구하고 가장 근접한 접근성 라벨링을 계산할 수있는 알고리즘이 있습니다

Edith Cohen, Eran Halperin, Haim Kaplan, Uri Zwick : 2 홉 레이블을 통한 접근성 및 거리 쿼리 . SIAM J. Comput. 32 (5) : 1338-1355 (2003 년)

Maxim A. Babenko, Andrew V. Goldberg, Anupam Gupta, Viswanath Nagarajan : 허브 레이블 최적화 알고리즘 . ICALP 2013 : 69-80

Cohen et al. 다른 사람들은 꽤 많은 응용 연구 (데이터베이스 커뮤니티)가 있습니다.

Ruoming Jin, Guan Wang : 단순하고 빠르며 확장 가능한 도달 가능성 Oracle . PVLDB 6 (14) : 1978-1989 (2013)

Yosuke Yano, Takuya Akiba, Yoichi Iwata, Yuichi Yoshida : 랜드 마크와 경로를 잘라내어 라벨링하여 그래프에 대한 빠르고 확장 가능한 도달 가능성 쿼리 . CIKM 2013 : 1601-1606

나는 당신의 질문에 부분적으로 대답 할 것입니다 : 그러한 구조를 얻기가 어려운 몇 가지 이유가있는 것 같습니다.

n- 노드 m-edge 지향 그래프가 주어지면 도달 가능성 쿼리가 q (m, n) 시간 내에 응답 될 수 있도록 T (m, n) 시간 내에 사전 처리 할 수 ​​있다고 가정하십시오. 예를 들어, n-node m-edge 그래프에서 삼각형을 찾을 수 있습니다.$T(O(m),O(n))+n q(O(m),O(n))$시각. 그 후$T(m,n)=O(n^2)$ 과 $q(m,n)=O(n)$획기적인 결과를 의미합니다. 우리가 삼각형을 찾는 데 가장 적합한 알고리즘은$O(n^\omega)$ 시간과 그것은 확실하지 않다 $\omega=2$.

축소를 보려면 그래프에서 삼각형을 찾고 싶다고 가정 해보십시오. $G$. 4 세트의 4 계층 그래프 작성$n$ 각 노드 $X,Y,Z,W$ 각 원래 노드 $v$ 에 $G$ 사본이있다 $v_X,v_Y,v_Z,v_W$. 이제 각 모서리에 대해$(u,v)$ 에 $G$ 지시 된 모서리를 추가 $(u_X,v_Y),(u_Y,v_Z),(u_Z,v_W)$. 이것으로 그래프가 완성됩니다. 이제 전처리를$T(O(m),O(n))$ 시간에 대한 질문을 $v_X,v_W$ 각각 $v$.

아마도 더 많은 작업으로 그래프에 삼각형을 나열하도록 축소를 변경할 수 있습니다 (현재는 삼각형에 노드 만 나열합니다). 이 작업을 효율적으로 수행 할 수 있다면 3SUM 요구 사항에 따라 조건부 하한을 얻을 수 있습니다.$n^{2+o(1)}$ 2010 년 Patrascu의 결과를 사용하여 시간.