다양한 p의 G (n, p) 심기

심어진 파편 문제에서 $k$Erdos-Renyi 랜덤 그래프에 심은 $G(n,p)$. 이것은 주로 살펴 보았습니다$p=\frac{1}{2}$이 경우 다항식 시간 해결이 가능한 것으로 알려져 있습니다. $k > \sqrt{n}$ 그리고 열심히 추측 $k< \sqrt{n}$.

내 질문은 : 다른 가치에 대해 알려진 / 믿는 것 $p$? 구체적으로$p$ 상수입니다 $[0,1]$? 그러한 모든 가치에 대한 증거가 있습니까?$p$, 일부 존재 $k=n^{\alpha}$ 어떤 문제가 계산적으로 어려운가요?

참고 문헌은 다른 값에 대한 문제를 찾는 문헌을 찾지 못했기 때문에 특히 도움이 될 것입니다. $p=\frac{1}{2}$.

만약 $p$ 일정하다면, 최대 경사의 크기는 $G(n,p)$ 모델은 거의 모든 곳에서 일정한 배수입니다 $\log n$상수에 비례하여 $\log (1/p)$. (Bollobás, p.283 및 Corollary 11.2 참조) 변경$p$ 따라서 도관을 심는 경도에 영향을 미치지 않아야합니다. $\omega(\log n)$기존 알고리즘 접근법이 작동하기에 클릭이 너무 작은 한 정점. 따라서 나는 일정하게$p \ne 1/2$ Planted Clique의 경도는 $p=1/2$ 경우의 경우 가능하지만 $p$ 0 또는 1에 매우 가깝게 다르게 동작 할 수 있습니다.

특히 $p\ne 1/2$ 동일한 임계 값 $\Omega(n^{\alpha})$ ...에 대한 $\alpha = 1/2$심은 파편의 크기가 적용되면 문제는 다항식 시간이됩니다. 의 가치$\alpha$ 여기 있습니다 $1/2$ Lovász theta 함수는 $G(n,p)$ 거의 확실하게 $0.5\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$ 과 $2\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$, Juhász의 결과. Feige와 Krauthgamer의 알고리즘은 Lovász theta 기능을 사용하여 가장 큰 파벌을 찾아 인증하므로, 심은 파편에 대한이 임계 값 크기에 의존합니다.

물론 Lovász theta 함수를 사용하지 않는 알고리즘과 $p$ 이기는 커녕 $1/2$ 말과 함께 심은 파벌을 찾을 수 있습니다 $n^{1/3}$정점. 내가 알 수있는 한 이것은 여전히 ​​열려 있습니다.

Feige와 Krauthgamer는 또한 $p$ 일정하지 않지만 $n$이러한 경우에는 심은 파편을 찾기위한 다른 방법이 있으며 임계 값 크기가 다릅니다.

• Béla Bollobás, Random Graphs (2 판), Cambridge University Press, 2001.
• Ferenc Juhász, Lovász '의 점근 적 행동$\vartheta$랜덤 그래프 기능 , Combinatorica 2 (2) 153–155, 1982. doi : 10.1007 / BF02579314
• Uriel Feige 및 Robert Krauthgamer, semirandom 그래프 , Random Structures & Algorithms 16 (2) 195–208, 2000 에서 큰 숨겨진 도둑을 찾아서 인증 . doi : 10.1002 / (SICI) 1098-2418 (200003) 16 : 2 <195 :: AID-RSA5> 3.0.CO; 2-A

심은 도당 $p \neq \frac{1}{2}$이 문제의 특별한 경우이며 p2 등에 명시된 새로운 결과 (하한) 및 관련 참조가 포함됩니다. (2015)

우리는 (결정 론적) 지수 시간 가설을 가정 할 때 유도 된 그래프를 구별하는 것을 보여줍니다. $k$-크릭 및 모든 그래프 $k$-서열은 최대 밀도 $1 −\varepsilon$요구 $n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$ 시각.

• 밀도가 높은 ETH 경도$k$-완벽한 완성도를 가진 논문 / Braverman, Ko, Rubinstein, Weinstein

여기 SVD 알고리즘을 기반으로 한 임의의 p ≠ ½에 대한 알고리즘이있는 새로운 논문이 있습니다. 숨겨진 (식물 된) 도당의 분석에 대해서는 p.4를 참조하십시오.

숨겨진 부분을 찾기위한 간단한 SVD 알고리즘 Van Vu

요약. 임의 환경에서 숨겨진 파티션을 찾는 것은 일반적이고 중요한 문제이며, 여기에는 숨겨진 도둑 찾기, 숨겨진 채색 찾기, 숨겨진 이중 파티션 찾기 등과 같은 많은 유명한 질문이 포함되어 있습니다.이 백서에서는 간단한 SVD를 제공합니다. McSherry의 질문에 대답 하여이 목적을위한 알고리즘. 이 알고리즘은 구현이 매우 쉽고 최적 밀도의 희소 그래프에 적용됩니다.