가우스 복잡도의 하한

행렬 의 가우스 복잡도 를 정의하여 행렬을 상위 삼각형 형태로 만드는 데 필요한 최소의 기본 행 및 열 연산 수를 정의하십시오. 이것은 과 사이의 양입니다 (가우시안 제거를 통해). 이 개념은 모든 분야에 적용됩니다.$n \times n$$0$$n^2$

이 문제는 확실히 매우 기초적인 것으로 보이며 연구되어야합니다. 놀랍게도, 나는 어떤 참조도 모른다. 그래서, 나는 거기에 대한 어떤 참조에 만족할 것입니다. 그러나 물론 주요 질문은 다음과 같습니다.

사소한 명시적인 하한이 있습니까?

사소한 것은 초 선형을 의미합니다. 명확하게 : 유한 필드에 대해 계산 인수는 랜덤 행렬이 복잡도 n ^ 2를 가짐을 보여줍니다 (무한 필드에 대해서도 유사한 주장이 사실이어야 함). 따라서 우리가 찾고있는 것은 명시 적 행렬 군입니다 (예 : Hadmard 행렬). 이것은 임의 함수가 복잡도가 높다는 것을 알고 있지만이 속성을 가진 명시 적 함수를 찾고있는 부울 회로 복잡도와 동일합니다.

이것은 더 널리 연구되는 문제와 관련하여 매우 어려운 문제인 것으로 보입니다.

제곱 가역 행렬 A를 고려하고 c (A)를 A를 항등 행렬로 줄이는 데 필요한 최소 행 개수 연산으로 정의한다고 가정합니다. 이 복잡성 측정은 Moritz가 제안한 것보다 크기 때문에 초 선형 한계를 증명하는 것이 더 쉬울 수 있습니다.

이제 행 작업을 되돌릴 수 있습니다. c (A)는 항등 행렬에서 시작 하여 A 를 생성 하는 데 필요한 최소 행 연산 수로 동일하게 정의 할 수 있습니다 .

이러한 방식으로 A를 생성하면 x를 Ax로 가져 오는 맵을 계산하기위한 산술 회로가 생성됩니다. 각 게이트의 팬인은 2이며 비 입력 게이트의 수는 행 작업의 수에 해당합니다.

반대 방향 (회로에서 행-오픈 시퀀스까지)에 대한 명백한 감소는 없습니다. 여전히, 우리는 제한된 회로 모델에서 Ax의 산술 회로 복잡성 측면에서 c (A)를 특성화 할 수 있습니다. 나는 c (A)가 A의 산술 회로에서 최소 모서리 수의 절반과 같다고 주장합니다. FANIN 최대 2 폭 우리가 1 FANIN의 게이트로 이어지는 가장자리에 대한 비용을 청구하지 않습니다 N, (내가 여기 회로 폭의 일반적인 개념을 사용하고 있습니다.) 이것은 간단한 아이디어 전에 스케치 사용하여 표시 할 수 있습니다.

이제 잘 연구 된 문제에 대한 연결이 있습니다. 그것은 30 년 동안 fanin-2 회로의 수퍼 리니어 수의 게이트를 필요로하는 명시 적 선형 맵 Ax (임의의 필드에서)를 나타내는 것은 유명한 개방 문제입니다. 고전적인 참고 문헌은 "낮은 수준의 복잡한 그래프 이론적 논증"인 Valiant이며 Lokam의 최근 FTTCS 설문 조사도 도움이됩니다.

c (A)를 공부할 때 우리는 추가 너비 제한을 부과하지만 제한이 너무 약하기 때문에 (너비 n) 문제가 훨씬 쉬워 질 것으로 예상하지 않습니다. 하지만 이봐-난 잘못되고 싶어

참고 문헌이 있으며 꽤 오래되었습니다. 불리언 행렬 곱셈을위한 조합 알고리즘을 연구하면서 그것들을 발견했습니다.

$\Theta(n^2/log n)$$\log n$

JW Moon and L. Moser. 매트릭스 감소 문제. 계산 수학 20 (94) : 328–330, 1966.

기사는 JSTOR에서 액세스 할 수 있어야합니다.

나는 하한이 단지 계수 인수라는 것을 확신하며, 하한을 달성하는 명시 적 행렬은 주어지지 않았습니다.