대략적인 # P- 하드 문제

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고전적인 # P- 완전 문제 # 3SAT를 고려하십시오. 즉, 변수를 만족 하는 3CNF를 만들기 위해 평가 횟수를 계산합니다 . 첨가제 근사치에 관심이 있습니다. 분명히 -error 를 달성하는 사소한 알고리즘이 있지만 이면 효율적인 근사 알고리즘을 가질 수 있거나이 문제도 # P-hard입니다. ? $n$ $2^{n-1}$ $k<2^{n-1}$

— 사용자 0928
소스

만약

k = 2^{n - 1} - p o l y (n)

$k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$ 추가 오류가있는 폴리 타임 알고리즘이 있습니다.

k

$k$ . 만약

k = 2^{n} / p o l y (n)

$k=2^{n}/\mathrm{poly}(n)$ 추가 오류가있는 무작위 폴리 타임 알고리즘이 있습니다.

k

$k$ . 언제

k

$k$ #P 경도는 일반적으로 정확한 계산에 의존하기 때문에 상당히 작습니다 (그러나 폴리 노 미적으로 작지는 않지만).

— 토마스

처음 두 청구에 대한 참조를 제공 할 수 있습니까? 죄송합니다 초보자입니다 ...

— user0928

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우리는 # 3SAT에 대한 부가적인 근사치에 관심이 있습니다. 즉 3CNF $\phi$ 의 위에 $n$ 변수는 만족스러운 할당 횟수를 센다 $a$ ) 가산 오차까지 $k$ .

이에 대한 몇 가지 기본 결과는 다음과 같습니다.

사례 1 : $k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

여기에는 결정 론적 폴리-시간 알고리즘이 있습니다 : $m=2^n-2k = \mathrm{poly}(n)$ . 이제 평가 $\phi$ 의 위에 $m$ 임의의 입력 (예를 들어 사전 식으로 먼저 $m$ 입력). 가정 $\ell$ 이 입력 중 만족 $\phi$ . 그럼 우린 알아 $a \geq \ell$ 최소한이 있기 때문에 $\ell$ 과제를 만족시키고 $a \leq 2^n - (m-\ell)$ 최소한이 있기 때문에 $m-\ell$ 과제가 만족스럽지 않습니다. 이 간격의 길이는 $2^n - (m-\ell) - \ell = 2k$ . 중간 점을 출력하면 $2^{n-1} -m/2 + \ell$ 이것은 안에있다 $k$ 필요에 따라 정답

사례 2 : $k=2^n/\mathrm{poly}(n)$

여기에 무작위 폴리-시간 알고리즘이 있습니다 : 평가 $\phi$ ...에서 $m$ 임의의 포인트 $X_1, \cdots, X_m \in \{0,1\}^n$ . 허락하다 $\alpha = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \phi(X_i)$ 과 $\varepsilon = k/2^n$ . 우리는 출력 $2^n \cdot \alpha$ . 이 오류가 최대로 $k$ 우리는 필요하다

케이 \geq | 2^{엔} α - ㅏ | = 2^{엔} | α - ㅏ / 2^{엔} |,

$k \geq |2^n \alpha - a| = 2^n |\alpha - a/2^n|,$ 어느 것이

| α - a / 2^{n} | \leq ε .

$|\alpha - a/2^n| \leq \varepsilon.$ (A)에 의해 Chernoff 바인딩 ,

피 [| α - ㅏ / 2^{엔} | > ε] \leq 2^{- Ω (미디엄 ε^{2})},

$\mathbb{P}[|\alpha - a/2^n| > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(m \varepsilon^2)},$ 같이

E [ϕ (X_{i})] = E [α] = a / 2^{n}

$\mathbb{E}[\phi(X_i)]=\mathbb{E}[\alpha]=a/2^n$ . 이것은 우리가 선택하면

m = O (1 / ε^{2}) = p o l y (n)

$m=O(1/\varepsilon^2) = \mathrm{poly}(n)$ (그리고

m

$m$ 의 힘이다

2

$2$ ), 적어도 확률로

0.99

$0.99$ 오류는 최대

k

$k$ .

사례 3 : $k=2^{cn + o(n)}$ ...에 대한 $c < 1$

이 경우 문제는 # P-hard입니다. # 3SAT에서 축소를 수행합니다. 3CNF를 가져 가라 $\psi$ 의 위에 $m$ 변수. 선택 $n \geq m$ 그런 $k < 2^{n-m-1}$ -이것은 필요합니다 $n = O(m/(1-c))$ . 허락하다 $\phi=\psi$ 외 $\phi$ 지금 켜져있다 $n$ 변수가 아닌 $m$ . 만약 $\psi$ 있다 $b$ 과제를 만족 시키면 $\phi$ 있다 $b \cdot 2^{n-m}$ 만족스러운 과제 $n-m$ "자유"변수는 만족스러운 지정에서 모든 값을 취할 수 있습니다. 이제 우리가 가지고 있다고 가정 $\hat{a}$ 그런 $|\hat{a}-a| \leq k$ -- 그건 $\hat{a}$ 만족스러운 과제 수에 대한 근사치입니다. $\phi$ 가산 오차 $k$ . 그때

| 비 - \hat{ㅏ} / 2^{엔 - 미디엄} | = | \frac{ㅏ - \hat{ㅏ}}{2^{엔 - 미디엄}} | \leq \frac{케이}{2^{엔 - 미디엄}} < 1 / 2.

$|b-\hat{a}/2^{n-m}| = \left| \frac{a - \hat{a}}{2^{n-m}}\right| \leq \frac{k}{2^{n-m}} < 1/2.$ 이후

b

$b$ 정수입니다. 이것은 우리가 정확한 값을 결정할 수 있음을 의미합니다.

b

$b$ ...에서

\hat{a}

$\hat{a}$ . 알고리즘 적으로 정확한 값을 결정

b

$b$ # P- 완전 문제 # 3SAT를 해결해야합니다. 이것은 계산하기가 #P 어렵다는 것을 의미합니다

\hat{a}

$\hat{a}$ .

— 도마
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다음은 이 주제를 어느 정도 개발 한 Bordewich, Freedman, Lovász 및 Welsh에 대한 참조 입니다.

— 마틴 슈워츠
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