일반화 된 지리학은 어떤 그래프 군 입니까?

@Marzio가 언급했듯이 다음 게임은 Generalized Geography 로 알려져 있습니다.

그래프 및 시작 정점 주어지면 게임은 다음과 같이 정의됩니다.$G=(V,E)$$v \in V$

매 턴마다 (두 플레이어가 번갈아 가며) 플레이어는 를 선택하고 다음과 같은 일이 발생합니다.$u\in N(v)$

1. $v$ 와 모든 모서리가 에서 제거됩니다 .$G$
2. $u\to v$ (즉, 는 꼭짓점 업데이트됩니다 ).$v$$u$

"데드 엔드"(즉, 나가는 모서리가없는 정점)를 선택해야하는 플레이어는 패배합니다.

다항식 시간에 최적의 전략을 계산할 수있는 그래프 패밀리는 무엇입니까?

예를 들어 가 DAG이면 플레이어에 대한 최적의 전략을 쉽게 계산할 수 있음을 쉽게 알 수 있습니다.$G$

GG (Generalized Geography)는 평면 지향 이분 그래프에서도 PSPACE- 완료되지만 다음과 같이보고됩니다.

Hans L. Bodlaender, 복잡한 경로 형성 게임 , 이론 컴퓨터 과학, 110 권 1 호, 1993 년 3 월 15 일, 페이지 215-245

GG (및 일부 다른 PSPACE- 완료 변형)는 제한된 트리 폭 그래프에서 선형 시간 분해가 가능합니다.

참고 : 최근 PSPACE-complete로 판명 된 Generalized Geography 변형 중 하나는 Tron ( Light Cycles 게임)입니다. 무 방향 그래프가 제공되면 두 명의 플레이어가 서로 다른 두 개의 시작 정점을 선택한 다음 주변으로 이동하여 회전합니다. 각 단계에서 각각 이전의 정점. 두 선수가 더 이상 이동할 수 없으면 게임이 종료됩니다. 더 많은 정점을 통과 한 플레이어가 승리합니다 (1990 년 Bodlaender와 Kloks에 의해 PSPACE- 완료로 추측되었습니다).
Tillmann Miltzow, Tron, 추상 그래프의 조합 게임 (2011)

$n \times m$

               Width n
           1 2 3 4 5 6 7 8 
         1 A B A B A B A B    Winning matrix up to 8x8
         2   B B B B B B B 
         3     A B A B A B 
Height m 4       B B B B B  
         5         A B A B 
         6           B B B 
         7             A B 
         8               B 

흥미롭게도, 플레이어 A가 임의의 시작 노드를 선택할 수 있다면 동일한 행렬이 얻어진다.

의견에서 말했듯이, GG가 임의의 모양이지만 구멍이없는 솔리드 그리드 그래프 에서 재생 될 때 승리 전략이 있는지 결정하는 복잡성은 알려져 있지 않으며 아마도 뭔가를 증명하기가 쉽지 않습니다. (실제로 그리드 그래프에 해밀턴 경로 가 있는지 결정하는 문제는 다소 관련 이 있지만, 솔리드 그리드 그래프에 해밀턴 사이클 이 있는지 결정하는 것은 다항식 시간 해결이 가능합니다).

마지막 사소한 참고 사항 : GG는 다항식 시간으로 완전한 그래프에서도 해결할 수 있습니다.

$1$$c$$G-c$$0$$c$$1$