심플 렉스 알고리즘의 복잡성

36

리니어 프로그램에 대한 솔루션을 찾기위한 심플 렉스 알고리즘의 상한은 무엇입니까?

그러한 경우에 대한 증거를 찾으려면 어떻게해야합니까? 각 정점은 그것이 그 방문 할 경우 최악의 경우 인 것처럼 보인다 . 그러나 실제로는 표준 알고리즘이 이보다 더 빠른 속도로 표준 알고리즘을 실행합니다. $O(2^n)$

이 방법을 사용하여 해결되는 문제의 평균 복잡성을 어떻게 알 수 있습니까?

모든 정보 또는 참조는 대단히 감사합니다!

— 셔틀 87
소스

5

mashca가 대답 에서 말했듯이 실제로 "단순 알고리즘"은 없습니다. 피봇 규칙의 선택에 따라 다양한 단방향 알고리즘이 있습니다.

— Ito Tsuyoshi

2

차원

의 큐브 는

꼭지점을 가지므로 Klee-Minty 큐브에 대한 단일 변형 변형에 대한 상한 인 경우입니다. 그러나, 차원 다면체있는

과

이상으로, 듀얼 순환 polytopes 등의 측면,

그래서, 정점

상 일반적으로 사각형 제약 행렬에 대한 단순 방법의 실행 시간의 경계 즉시 아니다 .

n

$n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

2 n

$2n$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

— Rahul Savani

72

참 심플 렉스 알고리즘을 방문하는 모든 $2^n$ 최악의 경우 정점은 ( 클레 & 민티 1972 ), 아웃이 회전은 결정 피벗 규칙에 대한 사실입니다. 그러나 스무드 분석을 사용하는 랜드 마크 논문에서 Spielman and Teng (2001) 은 알고리즘의 입력이 약간 무작위로 교란 될 때 단순 알고리즘의 예상 실행 시간이 모든 입력에 대해 다항식임을 증명했습니다. 어떤 문제라도 단순한 방법으로 효율적으로 해결할 수있는 "가까운"문제가 있으며, 해결하려는 모든 실제 선형 프로그램을 거의 다룹니다. 이후 Kelner and Spielman (2006) 은 truley가 모든 입력에서 작동하는 다항식 시간 무작위 심플 렉스 알고리즘. 원래의 심플 렉스 알고리즘에 대한 나쁜 입력조차도.

— 레브 레이 진
소스

36

레프는 최악의 경우 상기 된 바와 같이, 알고리즘 방문 모두 $2^d$ 정점 $d$ 변수의 수이다. 그러나 단순 알고리즘의 성능은 사용 된 특정 피벗 규칙에 따라 크게 달라질 수 있습니다. 내가 아는 한, 지수가 최악 인 경우의 실행 시간이있는 특정 결정적 피벗 규칙이 존재하는지 여부는 여전히 공개적인 질문입니다. 하한 결과로 많은 후보자가 제외되었습니다. 최근에 Friedmann, Hansen 및 Zwick 은 일부 자연 수정 된 피벗 규칙에 대한 최초의 비 다항식 하한을 보여 주었으며 나중에 일부 수정 사항이 제공 되었습니다 .

그러나 Lev가 언급 한 스무딩 된 분석 결과에 더하여, Vershynin은 스무딩 분석을 도입 한 Spielman과 Tengs 저널에 이어 2006 년에 한도를 더욱 향상 시켰 습니다. 제약 조건 $n$ , $n^{86}$ 에서 아래로 .

— 마티아스
소스

4

JeffE가 다른 질문 ( cstheory.stackexchange.com/questions/2149/… ) 에서 지적했듯이 현재 최고의 지수법 은 이중 심플 렉스입니다.

— Suresh Venkat

Vershynin 논문과의 연결이 끊어졌습니다.

— kutschkem

8

심플 렉스 분석법의 최악의 경우와 평균의 경우에 대한 통찰력을 얻으려면 "부드러운 분석 : 심플 렉스 알고리즘에 보통 다항식 시간이 걸리는 이유"를 읽어보십시오. Spielman과 Teng.

— 크리스티나 부처
소스

3

왜 지수가 다항식 시간에 실행되지 않는지에 대한 좋은 참고 자료는 Papadimitriou & Steiglitz Combinatorial Optimization, 섹션 8.6이 Simplex가 다항식 알고리즘이 아님을 입증하는 섹션 8.6입니다.

— 과장된
소스

1

$D=200$

GLPK Simplex Optimizer, v4.65
200 rows, 200 columns, 20100 non-zeros
Preprocessing...
199 rows, 200 columns, 20099 non-zeros
Scaling...
 A: min|aij| =  1.000e+00  max|aij| =  1.607e+60  ratio =  1.607e+60
...
Constructing initial basis...
Size of triangular part is 199
*     0: obj =   0.000000000e+00 inf =   0.000e+00 (200)
*     1: obj = -6.223015278e+139 inf =   0.000e+00 (0)
OPTIMAL LP SOLUTION FOUND
Time used:   0.0 secs
Memory used: 3.4 Mb

누구든지 단순 방법에 대해 어려운 문제를 구성하는 다른 방법을 제안 할 수 있습니까?

추가 : 3D 순열 행렬 일명 라틴어 정사각형 은 많은 정점을 가지고있는 것 같습니다-얼마나?
_{이론과 실제는 실제보다 이론에 더 가깝습니다.}

— 데니스
소스

-1

원래의 심플 렉스 알고리즘은 발산있다; 특정 인스턴스에서 순환합니다. 따라서 일반적인 한계는 없습니다. 다른 답변은 Simplex 알고리즘의 다양한 수정에 대한 답변을 제공합니다.

— MdAyq7
소스