보완 여유가 중요한 이유는 무엇입니까?

보 완성 느슨 함 (CS)은 일반적으로 이원성에 대해 이야기 할 때 배웁니다. 수학적 관점에서 원시와 이중 구속 조건 / 변수 사이의 좋은 관계를 설정합니다.

CS를 적용해야하는 두 가지 주요 이유 (대학원 과정 및 교과서에서 가르치는) :

1. LP의 최적 성을 확인하려면
2. 듀얼을 해결하기 위해

LP를 해결하기위한 오늘날의 컴퓨팅 능력과 다항식 알고리즘을 고려할 때 CS는 여전히 실용적인 관점과 관련이 있습니까? 우리는 항상 듀얼을 풀고 위의 두 가지 사항을 모두 해결할 수 있습니다. CS의 도움으로 듀얼을 해결하는 것이 "보다 효율적"이라는 데 동의하지만 이것이 맞습니까? 아니면 눈을 맞추는 것보다 CS에 더 많은 것이 있습니까? 위의 두 가지 점을 넘어서서 CS가 어디에 유용 합니까? 근사 알고리즘에 대해 이야기 할 때 CS의 개념을 암시하는 텍스트를 일반적으로 보았지만 거기에서 그 역할을 이해하지 못합니다.

보완 적 여유는 기본 이중 알고리즘을 설계하는 데 중요합니다. 기본 아이디어는 다음과 같습니다.

1. 실현 가능한 이중 솔루션 시작하십시오 .$y$
2. 불안 가능 찾으려고 되도록 상보적인 이완을 만족시킨다.$x$$(x, y)$
3. 2 단계가 성공하면 완료됩니다. 그렇지 않으면 를 찾는 데 방해가되면 를 수정 하여 이중 목적 함수 값이 증가합니다. 반복.$x$$y$

전형적인 예는 헝가리어 알고리즘입니다. Ford-Fulkerson 알고리즘은 다른 예로 볼 수 있습니다. 2 단계는 타당성 문제이며 종종 원래 최적화 문제보다 쉽고 종종 조합하여 해결할 수 있습니다. 이것이 보완적인 여유의 힘입니다. 예를 들어, 최소이 분식 매칭의 경우, 단계 2는 단단한 에지만을 사용하여 완벽한 매칭이 존재 하는지를 확인하는 것에 해당한다. 최대 - 흐름 의 경우 2 단계는 포화 된 가장자리가 와 분리하는지 확인하는 것 입니다.$s$$t$$s$$t$

기본 이중 알고리즘은 여러 가지 이유로 좋습니다. 철학적으로 일반적인 알고리즘보다 더 많은 통찰력을 제공합니다. 그들은 일반적으로 강력한 다항식 시간 알고리즘을 제공하지만, 우리는 여전히 강력한 다항식 LP 솔버를 가지고 있지 않습니다. 그것들은 종종 일반적인 알고리즘보다 더 실용적입니다. LP를 명시 적으로 기록 할 수없고 다른 선택이 타원체 알고리즘 인 경우에만 적용됩니다. 이는 타원체가 아닌 일치와 Edmonds의 기본 이중 알고리즘입니다.

Primal-dual은 편안한 느슨 함 버전을 사용하여 근사 알고리즘에 매우 유용한 프레임 워크입니다. 이는 NP-hard 문제 (예 : Williamson-Shmoys 책 의 7 장 참조)에 대한 근사 알고리즘을 설계하고 경쟁력이 우수한 온라인 알고리즘을 설계하는 데 유용합니다 ( Buchbinder and Naor 의 책 참조 ). 여기서 핵심은 알고리즘 이 어려운 문제의 LP 이완의 이중에 대한 솔루션 를 유지 하고, 각 단계에서 대략 적인 상보 적 여유가 충족 되도록 통합 가능한 원시적 찾 거나 이중 솔루션 향상 시킨다는 것입니다$y$$x$$y$. 대략적인 상보 적 여유도는 다음 형식의 조건입니다. 이면 해당 이중 제한 조건이 꽉 이면 가 로 스케일링 되면 해당 기본 제한 조건이 좁아집니다 . 근사 계수 됩니다. 위의 두 가지 소스에서 모두 잘 설명되어 있습니다.$x_i > 0$$y_j > 0$$x$$\alpha$$\alpha$