결합 된 나무 문제의 무작위 쿼리 복잡성

Childs 등 의 중요한 2003 논문."결합 된 나무 문제"를 소개했습니다. 우리가 알고있는 다른 문제와는 달리 지수 양자 속도 향상을 인정하는 문제입니다. 이 문제에서 우리는 아래 그림과 같이 지수가 큰 그래프를 얻습니다.이 그래프는 깊이 n의 두 개의 완전한 이진 트리로 구성되며, 잎은 임의의 주기로 서로 연결됩니다. ENTRANCE 정점의 레이블이 제공됩니다. 우리는 또한 정점의 레이블을 입력으로 주어 그 이웃의 레이블을 알려주는 오라클을 제공합니다. 우리의 목표는 EXIT 정점을 찾는 것입니다 (이것은 ENTRANCE 정점 이외의 그래프에서 유일한 차수 -2 정점으로 쉽게 인식 할 수 있음). 레이블이 긴 임의의 문자열이라고 가정하여 압도적 인 확률로ENTRANCE 버텍스 이외의 버텍스는 오라클이 제공합니다.

차 일즈 등. 양자 보행 알고리즘은이 그래프를 통해 간단히 배럴 링 할 수 있고 poly (n) 단계 후에 EXIT 정점을 찾을 수 있음을 보여주었습니다. 대조적으로, 그들은 고전적인 무작위 알고리즘이 높은 확률로 EXIT 정점을 찾기 위해 exp (n) 단계가 필요하다는 것을 보여주었습니다. 그들은 그들의 하한을 Ω (2 ^{n / 6} )이라고 말했지만, 그들의 증거에 대한 면밀한 조사는 Ω (2 ^{n / 2} )이라고 생각합니다. 직관적으로 이것은 압도적 인 확률로 그래프의 임의의 보행 (자체를 피하는 보행 등)이 광대 한 중간 지역에서 기하 급수적으로 멈출 것입니다. 보행자가 EXIT쪽으로 향할 때마다 , EXIT에서 멀어지는 훨씬 더 많은 수의 모서리는 "반발력"의 역할을하여 중간으로 다시 밀어냅니다.

그들이 논증을 공식화 한 방법은 ~ 2 ^{n / 2} 정점을 방문하기 전까지 는 무작위 알고리즘이 그래프 에서 어떤 주기도 발견하지 못했음 을 보여주었습니다 . 지금까지 본 유도 된 서브 그래프는 EXIT 정점이 어디에 있는지에 대한 정보.

이 문제의 무작위 쿼리 복잡성을보다 정확하게 찾아 내고 싶습니다. 내 질문은 이것입니다 :

누구든지 ~ 2 ⁿ 단계 미만으로 EXIT 정점을 찾는 고전적인 알고리즘을 생각해 낼 수 있습니까 -예를 들어 O (2 ^{n / 2} ) 또는 O (2 ^{2n / 3} )? 또는 Ω (2 ^{n / 2} ) 보다 더 낮은 하한값을 줄 수 있습니까?

(생일 역설에 따르면, O (2 ^{n / 2} ) 단계 후에 그래프에서주기를 찾기가 어렵지 않습니다 . 문제는 주기를 사용 하여 EXIT 정점의 위치에 대한 단서를 얻을 수 있는지 여부 입니다.

누구든지 Ω (2 ^{n / 2} )을 지나서 하한을 개선 할 수 있다면 , 이것은 무작위 쿼리 복잡도가 √N보다 큰 지수 양자 속도 향상과 함께 블랙 박스 문제의 첫 번째 입증 가능한 예를 제공합니다. . (N ~ 2 ⁿ 이 문제 크기 인 경우)

업데이트 : 나는, 즉 앤드류 차일에서 배운 메모 , FENNER 및 장 명시 적으로는 Ω (2 결합 된 나무에 대한 하한 무작위 향상 ^{N / 3} ). 만약 그들이 기하 급수적으로 작은 성공 확률을 기꺼이 받아들이고 자한다면 바운드를 Ω (2 ^{n / 2} ) 까지 더 향상시킬 수 있다고 생각 합니다.

$O(n2^{n/2})$

$n/2$$O(2^{n/2})$$n+1$$X$$n+1$

$X$$Y$$O(2^{n/2})$$n/2$$Y$$n/2$$X$$Y$$Y$$O(2^{n/2})$$X_2$$n+2$

$n+3$$X_2$$n/2$$n/2$$X_2$

$n$$O(n2^{n/2})$

$X_t$$X_{t+1}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$X_t$.