Reals의 수학은 Computable Reals에 어느 정도까지 적용 할 수 있습니까?

적절한 위생 처리를 통해 계산 가능한 실수 만 고려할 때 실수 사용에 관한 가장 알려진 결과를 실제로 사용할 수 있다는 일반적인 정리가 있습니까? 또는 계산 가능한 실수 만 고려할 때 유효한 결과의 적절한 특성이 있습니까? 부수적 인 질문은 계산 가능한 실제에 관한 결과를 모든 실제 또는 계산할 수없는 것을 고려하지 않고 입증 할 수 있는지 여부입니다. 나는 특히 미적분학과 수학적 분석을 생각하고 있지만 내 질문은 결코 그것에 국한되지 않습니다.

실제로 Turing 계층 구조에 해당하는 계산 가능한 실제 계층 구조가 있다고 가정합니다 (정확합니까?). 그리고 더 추상적으로, 실제 결과에 대한 추상 이론이 있습니까? 계산 가능한 실수의 튜링 계층 구조 수준 (있는 경우).

그렇다면 나의 질문은 아마도 다음과 같이 표현 될 수있을 것이다. 전통적 현실에 대해 증명되었을 때 추상적 인 이론의 실제에 적용 할 결과의 특징이 있는가? 그리고 이러한 결과는 전통적 사실을 고려하지 않고 추상 이론에서 직접 입증 될 수 있을까요?

또한 이러한 현실 이론이 언제 어떻게 퍼지는 지 이해하는 데 관심이 있습니다.

추신 : 나는 내 질문에 이것을 어디에 맞을지 모른다. 나는 실재에 관한 많은 수학이 토폴로지로 일반화되었음을 깨달았습니다. 따라서 내 질문 또는 그 일부에 대한 답변을 찾을 수 있습니다. 그러나 더 많은 것이있을 수도 있습니다.

실수는 몇 가지 방식으로 특성화 될 수 있습니다 . Cauchy-complete archimedean ordered field 와 함께 작업 해 봅시다 . (우리는보고, 우리가 이런 말을 정확히 어떻게 조금 조심해야 정의 11.2.7 와 (고화질) 11.2.10 의 HOTT 책 .)

다음 정리는 모든 지형지 물 (고차 직관 논리 모델) 에서 유효합니다 .

정리 : Cauchy-complete archimedean ordered field가 있으며, 실제로 이러한 두 필드는 표준 적으로 동형입니다.

또한에서 직관 논리 (혼동되지 직관 ) 우리는 어떤 TOPOS에서 다음 유효 실시간 분석 (서열 및 제한 유도체, 적분 연속성 균일 연속성 등)을 많이 할 수있다. 우리가 세트의 위치를 ​​가져 가면 일반적인 실제 분석을 얻습니다. 다른 토포스를 취함으로써 우리는 다른 종류의 실제 분석을 얻습니다. 정확하게 계산 가능한 실제와 계산 가능한 실제 분석을 산출하는 토포가 있습니다.

물론 이것은이다 효과적인 TOPOS 실제 숫자가있는, 이다 계산 가능한 실수 (막연하게 말하기, 그 이유는 유효 TOPOS가 모든 것을 자동으로 계산 가능한 것을 같은 방식으로 구성되어 있다는 점이다). 귀하의 질문에 대한 답변은

직관적 인 실제 분석의 정의, 구성 및 정리는 효과적인 지형지 물에서 해석 할 때 계산 가능한 실제에 대한 정의, 구성 및 정리로 자동 변환됩니다.

$f : [0,1] \to \mathbb{R}$

또한 실제 분석과 계산 가능한 버전 사이의 "이탈"에 대해 문의하십시오. 답은 배제 된 중간의 법칙이나 선택의 원칙에 의존하는 결과 (수많은 선택은 괜찮지 만)는 직관적이지 않으므로 효과적인 토포스에서 검증 될 수 없다는 것입니다. 그러나 (대중의 의견과 달리) 대부분의 분석은 직관적으로 수행 할 수 있습니다.

효과적인 토포스는 많은 실현 가능성 중 하나 일뿐 입니다. 다른 실현 가능성에서 직관 분석을 해석 할 때 우리는 당신이 암시하는 오라클을 사용한 계산을 포함하여 실수 계산 가능성의 대체 모델을 얻습니다. "상대적 Kleene 함수 실현 가능성 위치"(즉, 무엇이든)는 계산 가능한 맵 이 계산 가능한 것이 아니라 모든 영역 에서 계산되는 맵에서 소위 유형 II 계산 기능 을 제공 합니다.

나는 이것을 "전산 수학과 건설 수학 사이의 연결로서의 재 타당성 (Realizability)" 이라는 노트에서 한 번 , 그리고 그 전에 나의 박사 학위 에서 설명하려고 노력했다 . 논문 .