정점 라벨링의 "로컬"기능을 결합하기위한 그래프 분해

또는 를 찾고 싶다고 가정 해 봅시다.

V의 모든 라벨링에 대해 max 또는 sum가 사용 되는 경우 그래프 G = \ {V, E \}에 대해 $V$모든 모서리 E 에서 곱이 취해 지고 f 는 임의 함수입니다. 이 수량은 경계 트리 폭 그래프와 평면 그래프의 경우 일반적으로 NP-hard에서 쉽게 찾을 수 있습니다. 적절한 채색의 수, 최대 독립 세트 및 Eulerian 하위 그래프의 수는 위의 문제의 특별한 예입니다. 이러한 종류의 문제, 특히 평면 그래프의 다항식 시간 근사 방식에 관심이 있습니다. 어떤 그래프 분해가 유용합니까?$E$$G=\{V,E\}$$f$

편집 11/1 : 예를 들어, 통계 물리의 클러스터 확장 (예 : Mayer 확장)과 유사한 분해가 궁금합니다. 경우 $f$ 약한 상호 작용을 나타내고, 이러한 확장은 특정 정확도로 얻을 수있는 수단을 수렴 $k$ 상관없이 그래프의 크기의 확대 용어. 이것이 수량에 대한 PTAS의 존재를 의미하지 않습니까?

2011 년 2 월 11 일 업데이트

고온 확장은 파티션 함수 $Z$ 를 고차 항이 고차 상호 작용에 의존하는 항의 합계로 다시 씁니다 . "상관이 소멸"할 때, 고차 항은 충분히 빨리 소멸되어 거의 모든 $Z$ 질량이 유한 한 수의 저차 항에 포함됩니다.

예를 들어 Ising 모델의 경우 다음과 같은 파티션 함수 표현을 고려하십시오.

여기서 $c$ 는 간단한 상수이고, $C$ 는 그래프의 Eulerian 하위 그래프 세트입니다. $|A|$하위 그래프 A 의 모서리 수입니다 $A$.

우리는 분할 함수를 하위 그래프에 대한 합계로 다시 작성했습니다. 여기서 합계의 각 항은 하위 그래프의 크기에 의해 기하 급수적으로 처벌됩니다. 이제 같은 지수를 가진 항을 그룹화하고 첫 번째 k 항 을 취하여 $Z$ 를 근사화 합니다. 크기 p 의 Eulerian 하위 그래프 수가 너무 빨리 커지지 않으면 근사 오차가 k 와 함께 기하 급수적으로 감소합니다 .$k$$p$$k$

대략적인 계산은 일반적으로 어렵지만 "상관 붕괴"인스턴스에는 쉽습니다. 예를 들어 Ising 모델의 경우 가 보다 느리게 증가 하면 상관 관계가 붕괴됩니다. 여기서 는 크기 의 Eulerian 하위 그래프의 수입니다 . 그런 경우 고온 팽창을 자르면 PTAS가 제공됩니다.$f(k)$$(\tanh J)^k$$f(k)$$k$$Z$

또 다른 예는 가중치 독립 세트를 계산하는 것입니다. 문제가 상관 관계 붕괴를 나타낼 수 있기 때문에 가중치가 충분히 낮은 경우 모든 그래프에서 다루기 쉽습니다. 그런 다음 경계 크기 영역에서 독립 세트를 계산하여 수량을 추정합니다. Dr. Weitz의 STOC'06 결과는 최대 등급 4의 그래프에 대해 가중 독립 세트 계산이 가능함을 의미합니다.

클러스터 그래프와 키쿠치 영역 그래프 인 "로컬"분해의 두 계열을 발견했습니다. 분해는 본질적으로 영역의 수를 곱하고 영역 겹침의 수로 나눕니다. 키쿠치 영역 그래프 방법은 "포함 제외"유형의 수정을 사용하여 영역 중첩 자체가 중첩 될 수 있다는 점을 고려하여이를 개선합니다.

대안적인 접근법은 "조합 공간에 대한 변론 적 추론"과 같이 문제를 전 세계적으로 다루기 쉬운 부분으로 분해하는 것이다. 그러나 로컬 분해를 사용하면 영역 크기를 선택하여 근사 품질을 제어 할 수 있습니다

내가 말하고 싶은 것은 너무 길어서 (하지만 실제로 있어야한다) 의견이다.

질문을 올바르게 읽고 있다면 위의 양 중 하나에 대한 FPRAS (완전 다항식 무작위 근사법)를 원합니다. 각 각의 # P- 완전 문제가 특수한 경우입니다. 특히, 평면 그래프의 경우 클러스터 확장을 사용하여 일반 FPRAS를 원합니다.

존재 문제의 NP- 완전성 (예 : 적절한 채색)이 AP- 환원성 (근사- 보존). Dyer, Goldberg, Greenhill 및 Jerrum, Algorithmica (2004) 38 : 471-500 참조.

그러나 아마도 나는 질문을 잘못 읽었습니다.

(실제로 고온 팽창의 의미를 초기에 설명 할 수 있습니까?)