제한된 전역 폭 그래프에서 쉬운 전역 문제와 어려운 전역 문제를 분리하는 것은 무엇입니까?

한정된 트리 폭 그래프 에서 다항식 시간으로 많은 하드 그래프 문제를 해결할 수 있습니다. 실제로, 교과서는 전형적으로 예를 들어 독립 세트를 예로 사용하는데, 이는 국소 문제 이다. 대략 로컬 문제는 모든 정점의 작은 이웃을 검사하여 솔루션을 확인할 수있는 문제입니다.

흥미롭게도, 전역 특성 의 문제 (해밀턴 경로) 조차도 한정된 트리 폭 그래프에 대해 여전히 효율적으로 해결 될 수 있습니다. 이러한 문제의 경우, 일반적인 동적 프로그래밍 알고리즘은 솔루션이 트리 분해의 해당 분리 기호를 통과 할 수있는 모든 방법을 추적해야합니다 (예 : [1] 참조). 무작위 알고리즘 (일명 cut'n'count에 기초한)이 [1]에 주어졌고, 개선 된 (결정 론적) 알고리즘이 [2]에 개발되었다.

나는 그것이 많은 것을 말하는 것이 공정한지 모르겠지만, 적어도 일부 전역 문제는 제한된 나무 폭 그래프로 효율적으로 해결할 수 있습니다. 그렇다면 이러한 그래프에서 여전히 어려운 문제는 어떻습니까? 나는 그것들이 또한 세계적 성격을 가지고 있다고 가정하지만, 다른 것은 무엇입니까? 이러한 어려운 글로벌 문제를 효율적으로 해결할 수 있는 글로벌 문제와 분리시키는 것은 무엇입니까 ? 예를 들어, 알려진 방법이 어떻게 그리고 왜 효율적인 알고리즘을 제공하지 못하는가?

예를 들어 다음과 같은 문제를 고려할 수 있습니다.

가장자리 사전 색상 확장 일부 가장자리가 색상으로 표시된 그래프 가 주어지면 이 색상을 그래프 의 적절한 가장자리 색상으로 확장 할 수 있는지 결정하십시오 .K $G$$k$$G$

엣지 프리 컬러링 확장 (및 그 엣지 엣지 컬러링 변형)은 이분법 계열 평행 그래프에 대해 NP- 완전합니다 [3] (이러한 그래프는 최대 트리 폭이 2 임).

최소 합계 가장자리 채색 그래프 주어지면 가장자리 채색 을 찾아 과 에 공통 꼭지점이 있으면 . 목적은 채색의 합계 인 를 최소화하는 것입니다 .χ : E → N e 1 e 2 χ ( e 1 ) ≠ χ ( e 2 ) E ′ χ ( E ) = ∑ e ∈ E χ ( e $G=(V,E)$$\chi : E \to \mathbb{N}$$e_1$$e_2$$\chi(e_1) \neq \chi(e_2)$$E'_\chi(E) = \sum_{e \in E} \chi(e)$

즉, 인접한 모서리가 다른 정수를 수신하고 할당 된 숫자의 합이 최소가되도록 그래프의 모서리에 양의 정수를 지정해야합니다. 이 문제는 부분 2- 트리 [4] (즉, 최대 2 개의 트리 폭 그래프)에 대해 NP-hard입니다.

이와 같은 다른 어려운 문제로는 에지-연계 경로 문제, 하위 그래프 동 형사상 문제 및 대역폭 문제 (예를 들어 [5] 및 그 참고 문헌 참조)가있다. 나무에서도 여전히 어려운 문제에 대해서는 이 질문을 참조하십시오 .

[1] 시강, M., 네덜, J., Pilipczuk, M., 반 벳 루이, JM, Wojtaszczyk, JO (2011 년 10 월). 단일 지수 시간에서 트리 폭으로 매개 변수화 된 연결 문제 해결 컴퓨터 과학 재단 (FOCS)에서 2011 년 IEEE 52 차 연례 심포지움 (pp. 150-159). IEEE.

[2] Bodlaender, HL, Cygan, M., Kratsch, S., & Nederlof, J. (2013). 트리 폭에 의해 매개 변수화 된 연결 문제에 대한 결정적인 단일 지수 시간 알고리즘. 오토마타, 언어 및 프로그래밍 (pp. 196-207) 스프링거 베를린 하이델베르크.

[3] Marx, D. (2005). 평면 그래프의 가장자리에있는 목록 색상 및 사전 색상 확장의 NP- 완전성. 그래프 이론 저널, 49 (4), 313-324.

[4] Marx, D. (2009). 최소 합계 가장자리 채색에 대한 복잡성 결과. 이산 응용 수학, 157 (5), 1034-1045.

[5] Nishizeki, T., Vygen, J., 우, X. (2001). 에지-비 연속 경로 문제는 직렬 병렬 그래프에 대해 NP- 완료입니다. 이산 응용 수학, 115 (1), 177-186.

경계 트리 폭 그래프에 대한 대부분의 알고리즘은 어떤 형태의 동적 프로그래밍을 기반으로합니다. 이러한 알고리즘을 효율적으로 사용하려면 동적 프로그래밍 테이블에서 상태 수를 제한해야합니다. 다항식 시간 알고리즘을 원하면 다항식 수의 상태 (예 : n ^ tw)가 필요합니다. 문제가 FPT임을 나타내면 일반적으로 상태 수가 트리 폭의 일부 기능임을 보여 주려고합니다. 상태 수는 일반적으로 일부 작은 분리기에서 그래프를 끊을 때 다양한 유형의 부분 솔루션 수에 해당합니다. 따라서 제한된 수의 정점을 통해 외부 세계와 상호 작용하는 부분 솔루션은 제한된 수의 유형 만 있기 때문에 일반적으로 경계 트리 폭 그래프에서 문제가 발생하기 쉽습니다. 예를 들어 독립 집합 문제에서 부분 솔루션의 유형은 선택된 경계 정점에만 의존합니다. 해밀턴 사이클 문제에서 부분 솔루션의 유형은 부분 솔루션의 하위 경로가 경계의 정점과 서로 일치하는 방식으로 설명됩니다. Courcelle 정리의 변형은 부분 솔루션에 제한된 수의 유형 만있는 속성을 갖기위한 문제에 충분한 조건을 제공합니다.

경계-트리 폭 그래프에서 문제가 어려운 경우 일반적으로 다음 세 가지 이유 중 하나가 원인입니다.

1. 그래프에서 캡처하지 않은 문제에 상호 작용이 있습니다. 예를 들어, 소스-목적 쌍이 인접하지 않은 정점간에 상호 작용을 생성하기 때문에 Steiner Forest는 treewidth 3의 그래프에서 NP-hard입니다.

Elisabeth Gassner : Steiner Forest 문제가 재검토되었습니다. J. 이산 알고리즘 8 (2) : 154-163 (2010)

MohammadHossein Bateni, Mohammad Taghi Hajiaghayi, Dániel Marx : 평면 그래프와 경계 트리 폭 그래프의 Steiner Forest에 대한 근사법. J. ACM 58 (5) : 21 (2011)

2. 문제는 그래프의 가장자리에 정의되어 있습니다. 그런 다음 제한된 수의 꼭짓점을 통해 그래프의 일부가 나머지 그래프에 첨부 되어도 몇 개의 꼭짓점에 많은 가장자리가 나타날 수 있으며 부분 솔루션의 상태는 이 모든 가장자리. 이것이 [3,4]의 문제를 어렵게 만든 것입니다.

3. 각 정점에는 많은 수의 다른 상태가있을 수 있습니다. 예를 들어, Capacitated Vertex Cover는 트리 폭에 따라 W [1] -hard로 매개 변수화됩니다. 부분 솔루션에 대한 설명에는 선택된 분리기의 정점이 표시 될뿐 아니라 분리기의 각 선택된 정점이 몇 번이나 표시되는지가 포함되기 때문에 직관적으로 가장자리를 덮는 데 사용됩니다.

Michael Dom, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, Yngve Villanger : 정전 용량 지배 및 취재 : 매개 변수화 된 관점. IWPEC 2008 : 78-90

내 제안은 Courcelle의 정리를 주의 깊게 살펴볼 것입니다. 모나 딕 2 차 논리의 (확실한 확장) 표현 가능한 문제는 treewidth로 매개 변수화 될 때 FPT 알고리즘이 있습니다. 내 생각에 이것은이 그래프에 대한 FPT 문제의 많은 또는 대부분의 알려진 예를 포괄한다는 것입니다. 이 관점에서, 당신의 지역 / 세계적 구별은 실존 적 MSO에서 표현 가능한 문제와 그들의 MSO 공식화에서 더 높은 수준의 정량화를 갖는 문제 사이의 구별과 밀접한 관련이있는 것으로 보인다. 실제 질문으로 돌아가려면 MSO 공식화가 부족한 경우 ( Myhill-Nerode 정리 와 관련된 아이디어를 사용하여 무조건 입증 될 수 있음 )는 FPT 알고리즘이 없다는 증거입니다 (복잡한 이론적 가정 없이는 증명하기 어렵습니다).

그런 예 중 하나가 가장 드문 컷 문제라고 생각합니다. 균일 한 희소 컷 문제는 경계 트리 폭 그래프에서 해결할 수 있지만 가중 희소 컷 문제는 경계 트리 폭 그래프에서 근사치 (17/16보다 낮음)도 아닙니다.

가장 희소 한 절단 문제에는 여러 가지 변형이 있지만 잘 알려진 것 중 하나는 다음과 같습니다.

그래프 주어 및 가중치 함수 , 에지 컷 찾을 를위한 되도록 는 가능한 모든 컷에서 최소화됩니다. ( 경우 가 있으며 문제 정의를 결정 버전으로 간단히 변경할 수 있습니다.$G=(V,E)$$w:E(G)\rightarrow N$$E(S,V\setminus S) \subseteq E(G)$$S \subset V$E′⊆E(G)W(E′)=∑e∈E′w(e$\frac{W(E(S,V\setminus S))}{|S||V\setminus S|}$$E'\subseteq E(G)$$W(E')=\sum_{e\in E'}w(e)$

주요 성분은 두 가지로 구성됩니다.

1. 가중치 기능과 같은 추가 기능. 그러나 여전히 가중치 함수에는 경계가없는 나무 너비의 무 방향 그래프에서 그리 어렵지 않은 몇 가지 문제가 있습니다.

2. 가장 드문 컷 문제의 본질. 실제로 문제의 정의에서 동적 프로그래밍에 대한 둘 이상의 종속성이 존재합니다. 직관적으로 좋은 해결책은 그래프를 (일부 가장자리를 제거하여) 거의 동일한 크기로 분할하는 반면,이 파티션에서는 사용하는 가장 적은 수의 가장자리를 삭제하는 것입니다. 경계 트리 폭 그래프에서 문제가 어려운 이유는 동적 프로그래밍을 두 방향으로 적용해야하기 때문에 두 방향이 서로 의존하기 때문입니다.

일반적으로, 문제가 동적 프로그래밍을 위해 하나 이상의 차원을 필요로하는 방식이고 이러한 차원이 서로 종속 된 경우, 문제는 경계 트리 너비의 그래프에서 어려울 수 있습니다. 문제의 문제와 가장 드문 컷 문제 모두에서이 패턴을 볼 수 있습니다. (첫 번째 문제에서 우리는 다른 한편으로는 이전의 채색을 유지하고 싶습니다. 가능한 한 작게 채색하십시오. 두 번째 문제에서는 분명히 서로 의존하는 두 가지 기능이 있습니다)