경도 상 전이의 예

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때 해결하기 쉬운 "쉬운" 및 일부 값 , 경우 때 "hard" 인 실수 값 p로 매개 변수화 된 문제가 있다고 가정 합니다 . $p=p_0$ $p=p_1$ $p_0$ $p_1$

한 가지 예는 그래프에서 스핀 구성을 계산하는 것입니다. 가중치가 부여 된 적절한 색소, 독립적 인 세트, Eulerian 하위 그래프를 계산하면 하드 코어, 포츠 및 Ising 모델의 파티션 기능에 각각 해당하며, "고온"과 "저온"은 근사하기 쉽습니다. 간단한 MCMC의 경우 경도 위상 전이는 혼합 시간이 다항식에서 지수로 점프하는 지점에 해당합니다 ( Martineli, 2006 ).

또 다른 예는 확률 모델의 추론입니다. 우리는 복용에 의해 주어진 모델을 "단순화" , 와의 조합을 모델 "모든 변수와 무관". 들면 문제가 들어 사소한 는 난치성이며, 그 사이의 경도 임계 놓여있다. 가장 많이 사용되는 추론 방법의 경우, 방법이 수렴하지 않으면 문제가 어려워지고, 발생하는 시점은 특정 Gibbs 분포의 위상 변화 (물리적 의미)에 해당합니다 ( Tatikonda, 2002 ). $1-p$ $p$ $p=1$ $p=0$

일부 연속 매개 변수가 변함에 따라 경도 "점프"의 다른 흥미로운 예는 무엇입니까?

동기 부여 : 그래프 유형 또는 논리 유형 외에 경도의 다른 "치수"예를 보려면

— 야로슬라프 불라 토프
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관련 질문 : 경도는 계산 복잡성에서 뛰어납니다 . Friedgut의이 설문 조사는 다음과 같은 도움이 될 수도 있습니다 . Sharp Thresholds .

— Kaveh

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표준 최악의 경우 근사치에는 근사 계수가 다양 하므로 많은 임계 값 이 있습니다.

예를 들어, 3 개의 변수 각각에 대해 주어진 많은 부울 선형 방정식을 만족하는 3LIN의 경우 근사값 1/2에 대한 간단한 임의 할당 근사 알고리즘이 있지만 t = 1 / 2 + o (1)보다 나은 근사값은 이미 정확한 SAT (지수 시간이 필요하다고 추측)만큼 단단합니다.

— 다나 모 쉬코 비츠
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이것이 당신이 찾고있는 문제의 유형인지 확실하지 않지만 NP-Complete 문제의 위상 전이는 (지금까지) 잘 알려진 현상입니다. 이 주제에 대한 인기있는 기사 는 3-SAT 위상 전이에 대한 Brian Hayes의 기사 "만족할 수 없음" 및 숫자 분할 위상 전이에 대한 "가장 어려운 문제" 를 참조하십시오.

셀만 (Selman)과 커크 패트릭 (Kirkpatrick) 은 변수에 대한 절의 비율이 약 4.3 일 때 3-SAT에 대한 위상 전이가 수치임을 처음으로 수치로 표시했다.

Gent와 Walsh 는 처음으로 숫자 분할 문제에 대한 위상 전이가 비트 대리스트 길이의 비율이 약 1 일 때 발생했음을 수치로 표시했습니다. 나중에 이것은 Borgs, Chayes 및 Pittel에 의해 분석적으로 입증되었습니다 .

특히 여행 세일즈맨, 그래프 채색, 해밀턴 사이클 (Hamiltonian Cycle)은 문제 인스턴스 생성의 적절한 매개 변수화를위한 위상 전이가있는 것으로 보입니다. 모든 NP-Complete 문제가 적절한 매개 변수화를 위해 위상 전이를 보인다는 것이 일반적으로 믿어지고 있다고 생각하는 것이 안전하다고 생각합니다.

— 사용자 834
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양자 계산을위한 (일부) 잡음 모델과 관련된 잡음 수준에 대한 임계 값이며, 이보다 노이즈 잡음 게이트는 Clifford 게이트에 의해 시뮬레이션되어 양자 계산 프로세스가 효율적으로 시뮬레이션 될 수 있습니다. 시작시, 잡음이 많은 Cli ﬀ ord 기반 퀀텀 컴퓨터의 내결함성 임계 값 상한 Plenio 및 Virmani (arXiv : 0810.4340v1)를 참조하십시오.

이와 같은 해석 가능한 모델은 유비쿼터스 실용 문제에 대해 우리에게 알려줍니다. 열 저장소와 접촉하는 특정 물리 양자 시스템 (아마도 0 온도)의 경우, 고전과 함께 효율적인 시뮬레이션을 위해 임계 값 아래 또는 위의 열 저장소와 관련된 소음 수준입니다 자원? 후자의 경우 어떤 시뮬레이션 알고리즘이 최적입니까?

— 존 사이들
소스

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$k$ $k$ $k$

하자 $f(k)$ $k$ $f(k)$ $2^k$ $k$ $1 \le f(k) < 2^k$

$k$ $n$ $k$ $f(k)/2^k$

$f(k)$ $f(k)+1$

Jan Kratochvíl, Petr Savický 및 Zsolt Tuza, 변수의 또 하나의 발생으로 만족도를 사소한 것에서 NP-Complete 으로 SIAM J. Comput. 22 (1) 203–210, 1993. doi : 10.1137 / 0222015

$f(k)$ $f(k) = \Theta(2^k/k)$

Heidi Gebauer, SAT에 영향을 미치는 인근 추측 추측 , Combinatorica 32 (5) 573-587, 2012. doi : 10.1007 / s00493-012-2679-y (인쇄)
Heidi Gebauer, Tibor Szabó, Gábor Tardos, 로컬 음모 는 SAT , SODA 2011에 적합합니다.

— 안드라 살 라몬
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