편안한

다음과 같이 구성 할 수있는 타당성 질문이 있습니다. 나는 포인트가 주어진 A의 차원 벡터 공간을, 나는 가장 가까운 지점을 찾으려면 에 만족 "의 세트 형태의 제약 조건" $p$ $d$ $q$ $p$ $\ell_0$

세트 주어지면 중 최대 하나는 0이 아닐 수 있습니다. $S \in [1\ldots d]$ $\{q_j, j \in S\}$

친밀감의 개념은 다양하지만 지금은 와 같은 편리한 거리를 가정하는 것으로 충분합니다 . $\ell_2^2$

원래 구속 조건을 근사하기 위해 "충분히 근접한"폴리 토프를 제공한다는 의미에서 "좋은"선형 구속 조건에 대해 알려진 이완이 있습니까?

ds.algorithms approximation-algorithms linear-programming

— 수레 쉬 벤 카트
소스

구속 조건이

비선형으로 의존 할 수 있습니까?

p

$p$

— 워렌 슈디

어떤 종류의 폴리 토프를 찾고 있습니까? 최대 하나의 0이 아닌 좌표를 갖는 실행 가능한 포인트

포인트 의 볼록 껍질 은

이므로 실행 가능한

포인트 세트의 다면체 근사가 기대 될 수 없습니다 .

q

$q$

R^{d}

$\mathcal{R}^d$

q

$q$

— 워렌 슈디

경우

거리에 상관없이 상수에 대한 다음 미리 알려진 상수

쉽게 내에있는 가능한 포인트를 계산할 수 있습니다

의

(하나의 제약 조건 만보고). 일부 측정 항목의 경우 실현 가능한 지점은 폴리 토프의 합집합입니다. 다른 사람들을 위해 당신은 그것들에 의해 그것들을 근사화하거나 분리 오라클을 사용해야 할 수도 있습니다. 그런 다음

가 볼록 껍질 안에 있음을 인코딩하는 선형 구속 조건을 작성하십시오 .

p

$p$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

p

$p$

q

$q$

— 워렌 슈디

@warren : 제약 조건은 p에 선형 적으로 의존하지만 p 자체는 상수가 아닙니다 (대신 문제의 입력입니다). 제약은 위와 같은 종류이거나 q_i의 선형 제약입니다.

— Suresh Venkat

문제를 올바르게 이해하고 있는지 확실하지 않지만 기록 된 것처럼 문제는 여러 단순화를 인정하는 것으로 보이며 특히 실수하지 않은 경우 ℓ ₂² 사례 의 문제 는 최소 가중치 정점 덮개와 같습니다.

일반성을 잃지 않고 우리는 | 모든 제한 조건에서 S | = 2. | S |> 2는 S 가 원래 세트 S 의 모든 요소 쌍에서 실행되는 제한 조건 세트와 같습니다 . 따라서, ℓ ₀ 제약 그래프로 가시화 될 수 G 와 D의 정점. 그래프 사용 G를 다음과 같이 제약을 재 작성 될 수있다 : 정점들의 세트는 좌표에 대응하는 I 와 Q _i가 0의 정점 커버이어야 = G .
거리가 ℓ ₂² 또는 일부 규범으로 정의되었다고 가정하십시오 . 이 경우, 임의의 점 Q는 점으로 변환 할 수 Q '모든 대한 만족 I , Q ' _나는 ∈ {0, p는 _I } 설정 간단하여 그리고 이러한 변화는 점으로부터의 거리 증가하지 쪽 $큐_{나는}^{'} = {\begin{cases} 피_{나는}, & 큐_{나는} \neq 0, \\ 0, & 큐_{나는} = 0, \end{cases}$ $q'_i = \begin{cases} p_i, & q_i \ne 0, \\ 0, & q_i = 0, \end{cases}$ . 특히, 거리가 좌표 방향 거리의 합 (ℓ ₂² 거리의 경우) 인 경우, 문제는 최소 가중치 정점 커버와 정확히 동일합니다.

버텍스 커버 문제의 LP 완화에 대해, 빠른 검색은 예를 들어 Uriel Feige 의 강의 노트 (강의 9)로 이어진다 .

— 이토 츠요시
소스

꽤 흥미 롭습니다. 나는 | S | 2 세 이상일 필요 없음

— Suresh Venkat

제대로 작동하지 않는 것이 있습니다. 일반적으로 변수는 임의적 일 수 있습니다 (0과 1 사이는 아님). 따라서 "0으로 설정된 변수는 꼭짓점을 구성해야합니다"에 대한 LP 제약 조건을 실제로 인코딩 할 수 없습니다. 통합 해야하는 좌표에 다른 (선형) 구속 조건이 있기 때문에 이것은 문제가됩니다 (내가 언급 했어야 함).

— Suresh Venkat

@Suresh : 실제로 언급했다고 생각되면 언제든지 질문을 수정할 수 있습니다.

— 이토 쓰요시

@Suresh :“만약 당신이 그것을 언급 해야 한다고 생각 한다면….”

— Ito Tsuyoshi