제곱합 방법의 수치 정밀도?

나는의 제곱합 방법 (SOS)에 대해 조금 읽어 된 바락 & STEURER의 조사 와 바락의 강의 노트를 . 두 경우 모두 양탄자 아래에서 수치 정확도 문제를 청소합니다.

이 방법에 대한 나의 (제한적으로 제한적인) 이해에서 다음이 사실이어야합니다.

실수 변수 대한 다항식 항등 시스템 주어지면 모든 모수가 ( , , 각 구속 조건의 정도) 인 정도- " "( ) SOS 메소드는 만족스러운 변수 할당을 찾거나 시간에 존재하지 않는 것을 증명합니다 . $E$$x \in \mathbb{R}^n$$O(1)$$n$$|E|$$2n$$=O(1)$$O(1)$

내 첫 번째 질문은 위의 주장이 사실인지 여부입니다 (이 문제를 해결하기 위해 SOS를 사용하지 않는 순진한 주장이 있습니까?). 두 번째 질문은 숫자 정확도가 맞는 위치입니다. 추가 정확도 내에서 모든 제약 조건을 만족하는 할당을 받으려면 런타임이 어떻게 의존 합니까? 특히 다항식입니까?$\varepsilon$$1/\varepsilon$

이를위한 동기는 기본 사례가 크기 시스템 이 될 때까지 대형 시스템에서 분할 및 정복 방식을 적용하는 것 입니다.$O(1)$

편집 : 바락-STEURER에서,이 나타납니다 그 "정도 제곱합 알고리즘"모두를 통해 솔루션에 대한 문제 정의 (그것까지 이어지는 및 단락) P.9에 , 사실에 2.2 장에서 의사-분포의 정의는 이다. 그러나 나는 Lemma 2.2에서 바이너리 변수가없는 정도의 솔루션 / 반박을 보장하지는 않는다는 것을 알았습니다 .$l$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$2n$

그래서 질문을 조금 다듬을 수 있습니다. 변수가 이진이 아닌 경우 출력 시퀀스 가 유한하지 않다는 것이 걱정입니다 (단조 증가하지 않을 수도 있습니까?). 따라서 문제는 여전히 증가하고 있습니까? 그렇다면 추가 정확도 을 얻으려면 얼마나 멀리 가야 합니까? φ ( l )$\varphi^{(l)}$$\varphi^{(l)}$$\varepsilon$

이 가능성이 아무것도 변경하지 않지만, 내가 정말 얼마나 큰에 대해 우려하고 있으므로, (어느 정도의 어떤 논박이없는) 내 시스템이 만족할 알고 일이 될 필요가있다. 마지막으로, 나는 수치 해석이 아닌 이론적 솔루션에 관심이 있습니다.$l$

이 문제에 대한 Boaz Barak의 의견 은 다음과 같습니다 .

Parrilo, Lasserre 등의보다 "전통적인"SOS 문헌은 이러한 문제를 다루고 있습니다. 예를 들어, Monique Laurent의 설문 조사 및 참고 문헌을 참조하십시오. 이는 계층이 모노톤 것이 (이 정도의 볼 어렵지 않다 것으로 알려져 사이비 분포 특히 정도 인 이있다 (하나), 그리고 방정식 중 어느 고정 된 세트에 대한 유한 정도에 수렴 것 Positivstellensatz). 정확한 정도는 다를 수 있습니다. 일반적으로 다항식의 모든 계수가 제한되어 있고 해가있는 경우와 식 중 하나가 의해 꺼져있는 경우를 구별하려고하면 이를l − 1 ϵ δ δ $l$$l-1$$\epsilon$$\delta$변수의 수, 방정식의 정도, 및 과 관련된 대해 -net에 대해 -net을 입력 한 다음 (망이 충분히 "좋은"것으로 가정하고 "큐브처럼"가정) 필요한 정도는 대략 그물의 크기를 기록해야합니다.$\delta$$\epsilon$

내 대답은 충분하지 않다고 생각하지만 완전성을 위해 남아 있습니다 (아마도 더 나은 대답은 아래 Boaz의 의견을 참조하십시오)

부울 변수로 제한 할 때, 모든 대해 때 유사 분포가 실제 분포 라는 관찰과 함께 주장을 볼 수 있습니다. 의사 분포가 솔루션에 비해이 당신의 다항식 평등의 만족 :i ∈ [ n ] 2 n μ ( x ) x $(x_i^2-1) \in E$$i \in[n]$$2n$$\mu(x)$$x$$E$

∑ x ∈ { − 1 , 1 } n μ ( x ) p 2 ( x ) ≥ 0 p $\sum_{ x \in \{-1,1\}^n} \mu(x)$ 및 최대 차수를 갖는 모든 다항식 대해$\sum_{x\in\{-1,1\}^n} \mu(x) p^2(x)\ge0$$p$$n$

그러나 차수 다항식에는 다항식 표시기 (예 : 은 포함됩니다. 다른 곳에서는 0, 해당 과제에서 1). 따라서 모든 대해 이므로 는 솔루션에 대한 실제 분포 입니다. 과정은 의사 분포 연관된 정도 찾을 semidefinite 프로그래밍을 사용하여 발견 될 수 에서 의사 기대 연산자 우리는 실제 분포 찾을 수 있도록, 시간 시간을X 1 = 1 , X 2 = - 1 , X 3 = 1 (2) - (3) ( 1 + X (1) ) ( 1 - X 2 ) ( 1 + X 3 ) μ ( X ) ≥ 0 X ∈ { - 1 , 1, } n μ E ℓ ℓ n O ( ℓ $n$$x_1 = 1, x_2=-1, x_3=1$$2^{-3}(1+x_1)(1-x_2)(1+x_3)$$\mu(x) \ge 0$$x\in\{-1,1\}^n$$\mu$$E$$\ell$$\ell$$n^{O(\ell)}$n은 O ( N )$\mu$$n^{O(n)}$pseudo-expectation (현재 실제 기대 값)을 사용하여 의 모든 순간을 찾습니다 .$\mu$

따라서 이면 시간 에 에 대한 솔루션 분포를 찾을 수 있습니다 . 물론, 무차별 대입 검색도 마찬가지입니다.E O ( 1 $|E| = O(1)$$E$$O(1)$

그러나, 해가 반드시 불리언 일 필요는 없다면, 의사 기대치는 해에 대한 분포를 찾기에 충분하지 않다. 위에서 볼 수 있듯이, 학위 의사 분포가 실제 분포라는 증거는 학위 다항식이 개별 할당을 '선택'하기에 충분 하다는 사실에 달려 있습니다. 그것을 보는 또 다른 방법은 부울 변수 다항식이 로 간주 되므로 모든 단항의 정도는 최대 입니다.2 N $2n$$2n$$n$$\mod(x_i^2)$$n$

예를 들어, 를 포함하여 모든 이진 변수를 4-ary 변수로 바꾸는 것을 고려할 수 있습니다. 그런 다음 솔루션을 통한 분포의 복구를 보장하려면 정도 의사 예측이 필요합니다.4 $(x_i^2-1)(x_i^2-4) \in E$$4n$

이제 이론적 보장을 위해, 그것은 또한 Smale에의 17 문제로 알려져있다 polynomals의 시스템의 루트에 근접한 것 같아, 분명히 해결할 수있는 문제이하는 무작위 (라스 베이거스) 다항식 시간 알고리즘이 - 볼은 http://arxiv.org /pdf/1211.1528v1.pdf . 이것은 Blum-Shub-Smale 모델에있는 것처럼 보이므로 실제 작업이 기본입니다. 이것이 귀하에게 필요한 보증인지 확실하지 않습니다.