Kolmogorov 복잡성 증명은 축소를 사용하여 계산할 수 없습니다

Kolmogorov의 복잡성이 계산할 수없는 또 다른 문제의 감소를 사용하여 계산할 수 없다는 증거를 찾고 있습니다. 일반적인 증거는 축소가 아닌 베리의 역설을 공식화하는 것이지만 Halting Problem 또는 Post 's Correspondence Problem과 같은 것을 줄여 증거가 있어야합니다.

다음에서 두 가지 다른 증명을 찾을 수 있습니다.

Gregory J. Chaitin, Asat Arslanov, Cristian Calude : 프로그램 크기의 복잡성은 중단 문제를 계산합니다. EATCS 57 게시판 (1995)

에서 리튬, 명나라, Vitányi, 폴 MB; Kolmogorov의 복잡성과 응용에 대한 소개 연습으로 제시됩니다 (1992 년 2 월 13 일 W. Gasarch에 의해 P. Gács가 W. Gasarch에게 제공 한 문제를 해결하는 방법에 대한 힌트 포함).

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이것은 생각하기에 재미있는 질문이었습니다. 다른 답변과 아래의 설명에서 설명한 바와 같이, Halting 문제에서 Kolmogorov 복잡도 계산으로 튜링 감소가 있지만, 특히 'Kolmogorov 복잡도 계산'에 대한 하나의 정의에 대해서는 그러한 많은 감소가 없습니다.

우리가 말하는 것을 공식적으로 정의합시다. 허락하다$HALT$입력에 대한 설명이 제공 될 때 중단되는 TM의 표준 언어를 나타냅니다. 허락하다$KO$ 나타내 다 $\{ \langle x,k \rangle \mid x \text{ has Kolmogorov complexity exactly } k \}$.

그 가정 $HALT \le KO$일대일 감소에 의해. 허락하다$f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$이 감소가 계산하는 함수를 나타냅니다. 의 이미지를 고려$HALT$ 아래에 $f$내가 표시 할 $f(HALT)$.

노트 $f(HALT)$ 형식의 문자열로 구성 $\langle x,k\rangle$ 어디 $x$ Kolmogorov의 복잡성이 정확히 $k$. 나는$k$에서 발생하는 $f(HALT)$ Kolmogorov 복잡도를 가진 유한 한 수의 문자열 만 있기 때문에 제한이 없습니다. $k$, $f(HALT)$ 무한하다.

이후 $HALT$ 재귀 적으로 열거 가능합니다 (일부 책에서는 Turing으로 인식 가능). $f(HALT)$재귀 적으로 열거 가능합니다. 사실과 결합하여$k$의 끝이 없다, 우리는 열거 할 수있다 $f(HALT)$ 우리가 찾을 때까지 $\langle x,k\rangle$ 와 $k$우리가 원하는만큼 즉, TM이 존재한다$M$ 입력시 $k$ 일부 요소를 출력 $\langle x,k \rangle \in f(HALT)$.

새로운 TM 작성 $M'$ 그것은 다음을 수행합니다 : 먼저 계산 $|M'|$Kleene의 재귀 정리를 사용합니다. 질문$M$ 입력 $|M'|+1$ 얻을 $\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$. 산출$x$.

분명히 출력 $x$ 의 $M'$ 최대 Kolmogorov 복잡성을 가진 문자열입니다 $|M'|$ 그러나 $\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$ 모순입니다.

"Kolmogorov의 복잡성 문제를 정확하게 대체 할 수 있다고 생각합니다. $k$"최소"Kolmogorov의 복잡성 $k$"작은 변화로.