사전 순으로 분류 된 분류 된 DAG의 토폴로지

우리가 지시 된 비순환 그래프 , 에서 총 순서 (예를 들어, 정수) 를 갖는 일부 세트 까지 의 라벨링 함수 를 입력으로 제공 하고 우리에게 묻는 문제를 고려하십시오 사 전적으로 가장 작은 위상 종류의 를 로 계산합니다 . 보다 정확하게는, 의 토폴로지 종류 는 를 으로 열거하는 것입니다. 에서 까지의 경로가있을 때마다 모든 에 대해λ V의 L < $G = (V, E)$$\lambda$$V$$L$$<_L$$G$$\lambda$V v = v 1 , … , v n i ≠ j v i v j$G$$V$$\mathbf{v} = v_1, \ldots, v_n$$i \neq j$$v_i$$v_j$$G$ 라면 가 있어야합니다 . 이러한 위상 정렬 의 레이블 은 로 얻은 의 요소 순서입니다 . (전체 길이 갖도록 시퀀스의 사전 순 로 정의된다) 가 IFF에 몇몇 위치 되도록 모든 대해 및 입니다 . 각 레이블 을 여러 꼭짓점에 할당 할 수 있다는 사실에주의하십시오 (그렇지 않으면 문제는 사소합니다).$i < j$l = λ ( v 1 ) , … , λ ( v n ) | V | L < 렉스 L ' I L I < L L은 ' I (L)의 j는 = L ' j 개의 J는 < 난 S $S$$\mathbf{l} = \lambda(v_1), \ldots, \lambda(v_n)$$|V|$$\mathbf{l} <_{\text{LEX}} \mathbf{l'}$$i$$l_i <_L l_i'$$l_j = l'_j$$j < i$$S$$V$

이 문제는 계산 변형 ( "사전 학적 최소 토폴로지 정렬 계산") 또는 결정 변형 (이 입력 단어가 최소 토폴로지 정렬입니까?)으로 표시 될 수 있습니다. 내 질문은, 이 문제의 복잡성은 무엇 입니까? PTIME (또는 계산 변형의 경우 FP)입니까, 아니면 NP-hard입니까? 일반적인 문제가 NP-hard 인 경우 가능한 레이블 집합 가 미리 고정 된 버전에 관심 이 있습니다 (즉, 일정한 수의 레이블 만 있음).$S$

비고 :

다음은 문제를 일으키는 작은 실제 예입니다. DAG는 프로젝트의 작업 (그들 사이의 종속성 관계가 있음)을 나타내는 것으로 볼 수 있으며 레이블은 각 작업에 소요되는 일 수를 나타내는 정수입니다. 프로젝트를 마치려면 작업 순서에 관계없이 총 시간이 동일합니다. 그러나 나는 상사에게 깊은 인상을 남기고 자하며,이를 위해 가능한 한 많은 작업을 가능한 한 빨리 끝내기를 원합니다 (욕실스러운 작업이 남아 있기 때문에 결국 매우 느리게 진행되는 경우에도 탐욕스러운 방식으로). 사전 식 최소한의 순서를 선택하면 다음과 같은 조건을 최적화 : 내가 주문 선택합니다 등을 다른 순서가 있음을 와 일의 수 곳 후o ′ n $o$$o'$$n$$n$일 I는 주문과 함께 많은 작업을 완료 한 것이다 주문과 이상을 (즉, 내 상사의 모습은 시간에 경우 , 내가 가진 좋은 인상을 줄 ), 그러나 모든 내가 주문만큼이나 작업을 완료 보다 주문 . o n o ′ m < n o ′$o'$$o$$n$$o'$$m < n$$o'$$o$

문제에 대한 통찰력을 제공하기 위해 : 나는 이미 이전 답변 에서 다음과 같은 관련 문제가 어렵다는 것을 알고 있습니다 . "다음 순서를 달성하는 토폴로지 정렬이 있습니까?" 그러나 여기서 나는 이 사전 순서에 대해 최소한 의 시퀀스를 원한다는 사실은 그것을 달성 할 수있는 가능한 토폴로지 순서를 많이 제한하는 것처럼 보입니다 (특히 다른 답변의 감소는 더 이상 작동하지 않는 것 같습니다). 직관적으로, 우리가 선택할 수있는 상황은 훨씬 적습니다.

(즉, 이분되어있는 DAG에 문제를 제한 할 때 높이 두이) 세트 커버의 측면에서 문제의 흥미로운 rephrasings있을 것 같습니다 참고 : 세트의 세트가 지정을 질서의 그들을 열거 사전 순으로 시퀀스를 최소화하는,,, ,. 무 방향 그래프에서 문제를 다시 표현할 수도 있습니다 (커버되지 않은 레이블의 사전 순서를 최소화하는 순서에 따라 그래프의 연결된 영역을 점진적으로 확장). 그러나 시퀀스 가| S 1 | | S 2 ∖ S 1 | | S 3 ∖ ( S 1 ∪ S 2 ) | … | S n ∖ ( S 1 ∪ ⋯ ∪ S n - 1 ) $S_1, \ldots, S_n$$|S_1|$$|S_2 \backslash S_1|$$|S_3 \backslash (S_1 \cup S_2)|$$\ldots$$|S_n \backslash (S_1 \cup \cdots \cup S_{n-1})|$ 사전 편찬 순서의 정의에 의해 항상 욕심을 느끼기 위해, 나는 (예를 들어, Steiner tree의) 축소를 얻을 수 없습니다.

당신의 아이디어에 미리 감사드립니다!

동일한 라벨의 여러 사본이 허용되면 그래프의 도가 줄어듦에 따라 NP-hard 문제가 발생합니다. 그래프 감안할 때 당신이 찾으려하는 케이 , -clique을의 각 정점에 대한 소스 정점과 DAG 만들기 G 의 각 에지를위한 싱크 정점 G를 , 그리고 감독 가장자리 의 X , Y 때마다 x는 의 정점이다 G를 그것은 가장자리 y 의 끝점을 형성합니다 . G 의 꼭짓점에 레이블 값 1을 지정 하고 G 의 모서리에 레이블 값 0을 지정하십시오 .$G$$k$$G$$G$$xy$$x$$G$$y$$G$$1$$G$$0$

그리고, 거기 에 -clique G는 상기 전적으로 제 위상 순서가 시퀀스 형성하는 경우 만 K 1 의 및 으로의 다음의 제 . 예를 들어 6 버텍스 은 시퀀스 으로 표시됩니다 . 이것은이 구성에 의해 주어진 라벨링 된 DAG의 위상 순서를 시작할 수있는 사 전형적으로 가장 작은 시퀀스입니다 ( 을 대체 함)$k$$G$$k$ $1$ 0I-10전1110,100,100,010,000,100,00010$\tbinom{k}{2}$ $0$$i-1$ $0$$i$$1$$110100100010000100000$$1$$0$(많은 꼭지점이있는 간단한 그래프에서 볼 수있는 것보다 더 많은 모서리를 갖는 시퀀스를 제공 할 것입니다.)) 가 원하는 경사를 포함 할 때 위상 순서의 시작일 수 있습니다 .$G$

이 참고 문헌 (1) 에 따르면 , 사 전적으로 첫 번째 위상 차수 문제는 NLOG-complete입니다.

관심있는 사례를 다루기 위해 기사를보다 자세히 살펴볼 수 있습니다. 특히 해당 기사 의 기술 보고서 ​​버전 (pdf) 을 기준으로 기사가 ' 정점의 사전 사전 순서를 엄격한 것으로 다시 취급 (예 : for )으로 처리하지만 이것이 결과의 적용에 영향을 미치는지 확실하지 않습니다. .u ≠ $\lambda(u) \neq \lambda(v)$$u \neq v$

1. 다카요시 쇼우 다이. " 사 전적으로 첫 번째 위상 순서 문제는 NLOG-complete입니다. "정보 처리 문자 33.3 (1989) : 121-124.