Borsuk-Ulam 포인트를 찾는 복잡성

Borsuk-울람 정리 마다 홀수 연속 함수에 대해 말한다 유클리드 N 스페이스로의 초구로부터 포인트가 X 0 되도록 g ( X 0 ) = 0 .$g$$x_0$$g(x_0)=0$

Simmons and Su (2002) 는 Tucker 's lemma를 사용하여 점 을 근사화하는 방법을 설명합니다 . 그러나 방법의 런타임 복잡성이 무엇인지는 명확하지 않습니다.$x_0$

함수 대한 오라클 $g$과 근사 계수 이 있다고 가정 $\epsilon>0$합니다. 다음의 런타임 복잡도는 무엇입니까 ( 의 함수로 $n$) :

1. 포인트는 찾기 $x$ 등 $|g(x)|<\epsilon$ ?
2. 점을 찾는 $x$ 그러한 $|x-x_0|<\epsilon$ 때, $x_0$ 점 만족 인 $g(x_0)=0$ ?

파파 디미트리 우 (Papadimitriou)는이 문제를 다루는 논문에서 "패리티 논증의 복잡성과 다른 비효율적 인 존재 증거" 에 대해이 문제의 버전이 PPAD- 완전 함을 보여 주었다 .

그의 문제는 다음과 같습니다.

$P=(x_1,\dots,x_d)$$-n\leq x_i\leq n$L 1 f ( p ) f ( p ) ≤ $\max_{|x_i|}=n$$L_1$$f(p)$ x| F(X)-F(-X)| ≤$f(p) \leq \frac{1}{Kn}$$x$$|f(x) - f( - x)| \leq \frac{1}{n^2}$

(Sidenote-고정 소수점 유형의 정리를 볼 때 PPAD는 그것을 찾는 복잡성에 대한 좋은 추측입니다 ...)

오라클은 어떻게 제공되며 에 대해 무엇을 알고 있습니까? 오라클이 블랙 박스이고 가 연속 홀수 임을 알고 있다면 이면 이미 많은 질문이 필요할 수 있습니다 ...g n = $g$$g$$n=1$

오라클이 일부 Turing-machine에 의해 제공되면 문제는 다음과 같습니다.

1. FIXP- 완료,

2. PPAD- 완료,

여기서 입력 크기는 길이입니다 . 이에 대한 소개는 http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/dagstuhl14-etessami-tutorial-equilibrium.pdf를 참조 하십시오 .$\epsilon$