XOR 게이트를 사용하는 가장 작은 회로 크기

n 개의 부울 변수 x_1, ..., x_n과 m 함수 y_1 ... y_m 세트가 주어 졌다고 가정합니다. 여기서 각 y_i는 이러한 변수의 (주어진) 서브 세트의 XOR입니다. 목표는 이러한 모든 y_1 ... y_m 함수를 계산하기 위해 수행해야하는 최소 XOR 연산 수를 계산하는 것입니다.

XOR 연산의 결과, 예를 들어 x_1 XOR x_2는 여러 y_j의 계산에 사용될 수 있지만 1로 계산됩니다. 또한 y_i를보다 효율적으로 계산하기 위해 훨씬 더 큰 x_i 모음의 XOR (예 : 모든 x_i의 XOR 계산과 같은 y_i 함수보다 큼)을 계산하는 것이 유용 할 수 있습니다.

마찬가지로 이진 행렬 A와 벡터 X가 있고 목표는 벡터 Y를 계산하여 AX = Y가되도록하고 여기에서 모든 연산은 최소 수의 연산을 사용하여 GF (2)에서 수행한다고 가정합니다.

A의 각 행에 정확히 k 개가있는 경우에도 (k = 3) 흥미 롭습니다. 이 질문의 복잡성 (근사도)에 대해 아는 사람이 있습니까?

모하마드 살라 바 티오 푸르

이것은 NP-hard입니다. 조안 보 야르, 필립 매튜스, 르네 페랄타 참조. 암호화 응용 프로그램을 사용한 논리 최소화 기술. http://link.springer.com/article/10.1007/s00145-012-9124-7

축소는 Vertex Cover에서 가져온 것이며 매우 좋습니다.

주어진 그래프 으로 m = | 전자 | , 정의 m을 × ( N + 1 ) 행렬 같이 A는 [ 난 , J ] = 1 만약 J < N + 1 및 ( I , J ) ∈ $(\{1,\ldots,n\},E)$$m=|E|$$m \times (n+1)$$A$$A[i,j] = 1$$j < n+1$$(i,j) \in E$ 및 [ I , N을 입니다. 다시 말해, n + 1 변수 x 1 , … , x n + 1이 주어지면모든 ( i , j ) ∈ E에 대해 m 선형 형식 x i + x j + x n + 1 을 계산하려고합니다.$A[i,n+1] = 1$$n+1$$x_1,\ldots,x_{n+1}$$m$$x_i+x_j+x_{n+1}$$(i,j) \in E$

약간의 생각은 m + k 게이트 만으로 선형 변환 A 를 계산하는 fan-in 2의 게이트를 가진 대한 XOR 회로가 있으며 , 여기서 k 는 그래프에 대한 최적의 정점 커버입니다. (먼저 정점 커버의 모든 i ' 에 대해 x i ' + x n + 1 계산$A$$A$$m+k$$k$$x_{i'} + x_{n+1}$$i'$ 연산을계산합니다. 그러면 선형 형태는 모두 m 더 많은 연산으로계산할수 있습니다.) 이것은 또한 최소 크기의 회로입니다.$k$$m$

축소가 정확하다는 증거는 그리 좋지 않습니다. 이 축소가 정확하다는 짧은 증거를보고 싶습니다.