비정규 그룹 요소의 순열로 달성 할 수있는 사항 결정

유한 그룹 수정하십시오 . 다음 결정 문제에 관심이 있습니다. 입력은 부분 순서가있는 일부 요소이며 질문은 순서를 만족시키는 요소의 순열이 있고 그 요소의 구성이 차수는 그룹의 중립 요소 산출합니다 .G의 $G$$G$$e$

공식적으로 -test 문제 는 다음과 같습니다. 여기서 그룹 은 수정됩니다.$G$$G$

• 입력 : 에서 까지 라벨링 기능이 유한 부분 정렬 세트 .μ P $(P, <)$$\mu$$P$$G$
• 출력 : 선형 확장 존재 여부 (즉, 전체 순서 모두되도록 , 의미 ,)와 같은, 그 요소를 쓰는 전체 순서는 다음 로 , 우리가 .( P , < ′ ) x , y ∈ P x < y x < ′ y P < ′ x 1 , … , x n μ ( x 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ μ ( x n ) = $P$$(P, <')$$x, y \in P$$x < y$$x <' y$$P$$<'$$x_1, \ldots, x_n$$\mu(x_1) \cdot \cdots \cdot \mu(x_n) = e$

그룹 의 경우 검정 문제는 분명히 NP에 있습니다. 내 질문은 : 테스트 문제가 NP-hard 와 같은 그룹 가 있습니까?G G G$G$$G$$G$$G$

동등한 문제 설명에 대한 몇 가지 언급 :

• 포즈 및 언어 확장의 언어는 DAG 및 토폴로지 순서의 언어로 동일하게 대체 될 수 있습니다. 즉, 원하는 경우 입력을 그룹 요소로 레이블 된 정점이있는 DAG로, 입력 DAG의 일부 토폴로지 종류가 달성하는지 묻는 출력으로 생각할 수 있습니다 .$e$
• 대신 poset 및 가 주어지고 ( 대신 )가 실현 될 수 있는지 묻는 더 어려운 문제를 고려할 수 있습니다. 실제로 더 강력한 문제는 위와 같이 줄어 듭니다. 우리는 를 실현할 수 있는지 묻습니다 . 여기서 는 이지만 다른 모든 요소 보다 작은 이라는 요소 가 있습니다. 따라서 위의 정의에서 의 자연스러운 선택입니다 .g ∈ G G E E ( P ' , < ) P ' P의 g - 1 명$(P, <)$$g \in G$$g$$e$$e$$(P', <)$$P'$$P$$g^{-1}$$e$

이제 문제를 해결하려는 시도에 대해 :

• 물론 그룹 가 교환 형인 경우 모든 선형 확장이 동일한 그룹 요소를 달성 하므로 테스트 문제는 PTIME에 명확하게 나타납니다. 따라서 위상 정렬을 통해 이들 중 하나를 선택하고 인지 아닌지를 확인할 수 있습니다 . 흥미로운 사례는 비정규 입니다. 보다 일반적으로, 가 사소하지 않은 정류 그룹 (예 : 순열에 대한 서명 )에 대해 동질성 (homomorphism )을 갖는 경우, 필요하지만 불충분 한 조건은 동질성 (homomorphism)을 통해 문제를보고 PTIME에서이를 정 성적 이미지에서 확인하는 것입니다 . 이것이 모든 유한 그룹의 분해 체계로 일반화 될 수 있는지 여부는 알 수 없습니다.G e G $G$$G$$e$$G$$G$
• 차수 관계가 비어있는 경우 (즉, 여러 요소가 주어지고 순열을 사용할 수있는 경우), 동적 프로그래밍을 통해 문제를 해결할 수 있습니다. 여기서 상태 는 여전히 에있는 각 요소의 발생 횟수입니다. 사용되지 않음 ( 는 고정되어 있으므로 입력에서 상태의 수는 다항식 임)를 기억하십시오.G $G$$G$$G$
• 폭이 일정한 입력 인 경우 체인 분해에 따라 동적 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 따라서 경도가 유지되면 임의로 넓은 입력 포즈를 사용해야합니다. 넓은 자세의 경우 동적 프로그래밍 방식에서 가능한 "상태"의 수는 일반적으로 지수적이고 다항식이 아닌 자세 의 업셋 수 이므로 접근 방식이 직접 작동하지 않습니다.
• 동일한 문제가 그룹이 아닌 모노 아이드에 대해 연구 될 수 있지만, 모노 아이드에 대해서는 이미 오토 마톤의 전이 모노 아이드 를 포함하고 이전 CStheory 질문 의 변형으로 축소되는 상당히 복잡한 주장에 의해 어렵다는 것을 이미 알고 있습니다. 이 용어 의 전체적인 증거는이 사전 인쇄 , 부록 D.1.3 및 D.1.4에 있지만 용어는 매우 다릅니다. 따라서 testing이 PTIME 인 경우 그룹 요소의 가역성을 사용해야합니다.$G$
• 우리가 모든 선형 확장이 실현 하는지 여부를 물었다면 ( 일부 인쇄 여부보다 ) PTIME에 문제가 있음을 알고 있습니다 (동일한 사전 인쇄 부록 D.2 참조).이 다른 문제가 coNP- 그룹 (D.1.3 및 D.1.4)이 아닌 단일체에 대해 어렵다.$e$

경우 -test은 일부 어렵다 물론, 자연의 질문은 약간의 이분법이 보유하고 있는지, 그리고 어떤 기준은 다루기 쉬운 구별 할 와 비 다루기 쉬운 . 사실이 질문은 그룹 대신 유한 오토마타를 사용할 때보다 일반적으로 요구 될 수 있습니다. (공식적으로 : 유한 알파벳 및 유한 결정 유한 유한 오토 마톤 (DFA) 를 에 수정하고 , 요소로 레이블이 지정된 poset가 주어지면 선형 확장이 a인지를 확인 하는 테스트 문제를 고려하십시오 . 물론 받아 들인 단어 .) 물론이 어려운 질문들에 대해서는 전혀 모른다.G G G Σ A Σ A Σ $G$$G$$G$$G$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$

아래에서 -test 문제가 단순하지만 무한한 그룹 G에 대해 NP-hard 임을 보여줍니다 . 유한 사례는 여전히 열려 있습니다.$G$$G$

증명

및 g a ( x ) = x + a 함수를 정의하십시오 .$f(x) = -x$$g_a(x) = x + a$

그런 다음 를 f 와 g a에 의해 생성 된 그룹 으로 구성합니다.$G$$f$$g_a$

의 원소 는 { f ∘ g a | a ∈ Z } ∪ { g a | ∈ Z } 이 실제로 매우 간단 그룹 그래서.$G$$\{f \circ g_a | a \in \mathbb{Z} \} \cup \{g_a | a \in \mathbb{Z} \}$

그런 다음 파티션에서 줄임 으로써 테스트 문제는 NP-hard입니다.$G$

파티션 문제는 주어진 순서의 정수 동일한 액수의 두 부분으로 그 순서의 분할이 존재하는지 여부.$a_1, a_2, ..., a_n$

이러한 순서에 대해 우리는 poset 를 순서없이 n + 2 요소 로 구성 합니다. 이 요소 중 2 개는 f 입니다. 다른 n 개의 요소는 g I 에 대한 난 = 1 , . . . , n .$P$$n+2$$f$$n$$g_{a_i}$$i = 1,..., n$

참고 그리고 F ∘ g P ∘ F = g - P . 단지 이러한 사실을 이용하여, 우리는 참조 그 원소의 조성 P 임의의 순서는 항상 동일 g Σ I ∉ I I - Σ I ∈ I I 여기서 I는 있는 인덱스들의 집합이다 g 난 사이에 위치 하였다 두 번의 $g_p \circ g_q = g_{p+q}$$f \circ g_p \circ f = g_{-p}$$P$$g_{\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i}$$I$$g_{a_i}$$f$. 정체이므로 의 오더링 P는 경우에만 해당 순서 하에서 만약 정체로 구성한다 Σ I ∉ I I - Σ I ∈ I 난 = 0 , 또는 다른 말로을 경우에만, Σ I ∉ I a i = ∑ i ∈ I a i .$g_0$$P$$\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i = 0$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$$I$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$$G$

내 공동 저자로, 우리는 단지 게시 한 프리 프레스 일반 언어보다 일반적으로이 문제를 연구. 유한 그룹의 경우 요소의 부분 순서가 체인의 합집합으로 구성된 경우 문제가 다루기 쉽다고 주장합니다 (NL에서). 정리 6.2를 참조하십시오. 우리는 일반적으로 DAG에 대한 문제가 NL도 있음을 추측 것이며, 해당 설정에 기술을 확장하는 희망이있다, 그러나 우리는 관련이에 대한 성분, 누락 이 질문 - 자세한 내용을 프리 프린트 절 참조 6, "제한"단락 끝, 두 번째 제한.