명시 적으로 MSO 표현 가능한 사소한 폐쇄 속성

아래에서 MSO는 정점 설정 및 에지 설정 수량 화가있는 그래프의 2 차 논리를 나타냅니다.

를 사소한 폐쇄 형 그래프 군 이라고하자 . 는 금지 된 미성년자 의 유한 목록 에 의해 특징 지워진다는 Robertson과 Seymour의 그래프 사소한 이론 됩니다. 즉, 각각의 그래프 , 우리는이 속한 경우에만, 제외 모든 그래프 미성년자있다.$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$$H_1,H_2,...,H_k$$G$$G$$\mathcal{F}$$G$$H_i$

이 사실의 결과로 경우에만 그래프 에 적용 되는 MSO 공식 이 있습니다. 예를 들어, 평면 그래프는 부 그래프로서 및 그래프가없는 것이 특징이므로, 평면 그래프를 특징 짓는 MSO 공식을 명시 적으로 작성하는 것은 쉽다.$\varphi_{\mathcal{F}}$$G$$G\in \mathcal{F}$$K_{3,3}$$K_5$

문제는 많은 멋진 마이너 닫힌 그래프 속성에 대해 금지 된 마이너 목록을 알 수 없다는 것입니다. 따라서 우리는 그래프 계열이 존재한다는 것을 특징으로하는 MSO 공식을 알고 있지만이 공식이 무엇인지 모를 수도 있습니다.

반면에, 그래프 마이너 정리를 사용하지 않고 주어진 속성에 대한 명시 적 공식을 만들 수있는 경우가 있습니다. 내 질문은이 가능성과 관련이 있습니다.

질문 1 : 금지 된 미성년자 집합이 알려지지 않도록 라는 부차적 그래프 계열이 있습니까? 그러나 그래프 집합을 특징 짓는 일부 MSO 공식 는 알려져 있습니까?$\mathcal{F}$$\varphi$

질문 2 : 일부 명시적인 MSO 수식 가 다음 속성 중 일부를 특징으로하는 것으로 알려져 있습니까?$\varphi$

1. 속 1 (그래프는 원환 체에 삽입 가능) (아래 편집 참조)
2. 일부 고정 대한 속 k (아래 편집 참조)$k>1$
3. 일부 고정 대한 k- 외부 평면성$k> 1$

이 문제에 대한 언급이나 의견에 감사드립니다. 다른 작은 폐쇄 속성을 고려하십시오. 위에 주어진 목록은 단지 예시 일뿐입니다.

Obs : 명시 적으로 작은 것을 의미하지는 않습니다. 주어진 속성을 특성화하는 공식을 구성하는 방법을 보여주는 명시 적 인수 또는 알고리즘을 제공하는 것으로 충분합니다. 마찬가지로,이 질문의 맥락에서 나는 금지 된 미성년자 가족이 그 가족을 구성하는 명시적인 알고리즘을 제공했다면 알려진 것으로 간주합니다.

EDIT : I가 발견 애들러 크로 이처, GROHE 의해 종이 속에 그래프 특징 수식 구축 속 K-1의 그래프의 특성을하기 식에 기초로한다. 따라서이 논문은 질문 2의 처음 두 항목에 대한 답을 제공합니다. 반면에, 이것은 k에 대한 그래프를 특징 짓는 금지 된 미성년자 가족 (각 4.2)을 구성하는 알고리즘이 실제로 있기 때문에 질문 1에 대한 답은 아닙니다. 그러므로이 가족은 질문의 의미에서 "알려져있다".$k$

여기에 에이펙스 그래프 와 관련된 대답이 있었지만이 질문에 명시 적 장애물 세트가 없다는 정의에 실패했습니다. 실행하기에는 너무 느리더라도 실제로는 알지 못하지만 장애물 세트를 찾는 게시 된 알고리즘이 있습니다. 장애물이 무엇인지

그래서 여기에 결함이없는 또 다른 매개 변수화 가능한 답변 제품군이 있습니다 (적어도 내가 아는 한). 가족 폐쇄 부 감안 및 정수 지정된 그래프 않는 가지고 -ply 덮는 그래프 에서 ? 이러한 종류의 질문에 대한 많은 것은 알려지지 않았습니다. 특히 평면 커버 그래프 를 가진 그래프를 특징 짓는 Negami의 추측 은 아직 입증되지 않은 상태입니다. 그리고 에서 미성년자를 만들기 위해 취한 모든 단계가 표지에 복사 될 수 있기 때문에 사소한 마감 입니다.$F$$k\ge 1$$G$$k$$F$$G$

(A)의 존재를 테스트하는 의 -ply 커버 에서 , MSO에서 다음 단계 수행$k$$G$$F$$_2$

• 깊이 우선 검색 트리 트릭 을 사용 하여 (임의) 방향을 얻습니다 .$G$
• 각 쌍$(i,j)$$0\le i,j<k$$G$$i$$j$
• $G$
• $F$