자극

다른 날에는 대중 교통으로 도시를 여행하고 있었고 두 곳 사이의 최단 시간 연결 문제를 모델링하는 흥미로운 그래프 문제를 만들었습니다.

우리는 모두 고전적인 "가장 짧은 경로 문제"를 알고있다 : 모서리 길이가 방향 그래프 $G=(V,E)$ 와 두 꼭짓점 는 와 사이 최단 경로를 찾습니다(즉, 전체 모서리 길이를 최소화하는 경로). 음이 아닌 모서리 길이를 가정하면 다양한 알고리즘이 있으며 문제는 쉽습니다. $w_e\in\mathbb{R}_0^+,\,e\in E$ $s,t\in V$ $s$ $t$

예를 들어 이것은 우리가 걷고있는 경우에 좋은 모델입니다. 정점은 도로 네트워크에서 교차로이며 각 모서리의 길이는 고정되어 있습니다 (예 : 미터). 에지 가중치의 또 다른 가능한 해석 은 IS 시간 이 다른과의 정점 중 하나에서 가서 우리가 걸립니다. 이것이 지금 저에게 관심있는 해석입니다. $w_e$

문제

이제 다음 상황을 모델링하고 싶습니다. 대중 교통을 통해 도시의 A 지점에서 B 지점으로 이동하고 시간을 최소화 하고 싶습니다 . 대중 교통 네트워크는 예상 한대로 직접 그래프로 쉽게 모델링 할 수 있습니다. 흥미로운 부분은 에지 웨이트 (해당 모델 시간)입니다. 대중 교통 (예 : 버스)은 특정 간격으로 만 출발하며, 각 정류장마다 다릅니다 (그래프의 꼭지점). 다시 말해, 가장자리 가중치는 일정하지 않으며 가장자리를 사용하려는 시간에 따라 변경됩니다.

이 상황을 모델링하는 방법 : 우리는 유향 그래프가 와 에지 무게 기능 소요 시간을 인수 반환로 시간 그것은을 사용하는 데 걸리는 우리의 길에서 우위. 예를 들어, 정점에서 버스 경우 버텍스 잎을 그리고 걸리는 시간 우리가 정점에 도달 에서 $G=(V,E)$ $w\colon E\times \mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^+$ $v$ $u$ $t=10$ $5$ $v$ $t=8$ 그런 다음 은 간선 가중치입니다. 분명히, 입니다. $w(vu,8)=7$ $w(vu,10)=5$

경로의 총 무게를 정의하는 것은 약간 까다 롭지 만 재귀 적으로 수행 할 수 있습니다. 하자 지시 된 경로 일. 만약 다음 . 그렇지 않으면 $P=v_1v_2\ldots v_{k-1} v_k$ $k=1$ $w(P)=0$ $w(P)=w(P')+w(v_{k-1}v_k,w(P'))$ 여기서 는 없는 의 하위 경로입니다 . 이것은 실제 상황에 해당하는 자연스런 정의입니다. $P'$ $P$ $v_k$

함수 에 대한 다양한 가정 하에서 문제를 연구 할 수 있습니다 . 자연 가정은 모델 "을 기다리고 시간". $w$

승 (이자형, 티) \leq 승 (이자형, 티 + Δ) + Δ 모든 이자형 \in 이자형, Δ \geq 0,

$w(e,t)\leq w(e,t+\Delta)+\Delta \text{ for all }e\in E,\Delta\geq 0,$

Δ

$\Delta$

기능이 "정상적으로 작동"하면이 문제를 고전적인 최단 경로 문제로 줄일 수 있습니다. 그러나 웨이트 기능이 과도 해지면 어떻게 될지 물을 수 있습니다. 대기에 대한 가정을 철회하면 어떻게 될까요?

질문

내 질문은 다음과 같습니다.

이 문제는 이전에 요청 된 적이 있습니까? 자연스러워 보입니다.
그것에 대한 연구가 있습니까? 체중 기능의 특성과 관련하여 질문하고 연구해야 할 다양한 하위 문제가있는 것 같습니다.
이 문제를 (일부 가정 하에서) 고전적인 최단 경로 문제로 줄일 수 있습니까?

graph-algorithms shortest-path

— JS_
소스

더 많은 연구 수준의 답변을 비교할 수있는 자연스러운 기본 접근 방식이 있습니다. 시간 단위를 순간 집합으로 분리하여 도달 가능성 문제로 모델링

정점

로 새 그래프를 만듭니다. 그런 다음 모서리

를 넣을 수 있습니다.여기서

T

$T$

V^{'} = T \times V

$V' = T \times V$

(t_{0}, v_{0}) \to (t_{1}, v_{1})

$(t_0,v_0) \to (t_1,v_1)$

t_{1} = w ((v_{0}, v_{1}), t_{0})

$t_1 = w((v_0,v_1),t_0)$

T

$T$

w

$w$

T

$T$

이 문제의 한 가지 간단한 변형 (가장자리 가중치가 시간에 선형으로 의존하는 경우)을 " 매개 변수 최단 경로 "라고합니다.

— 닐 영

8

$n^{\Theta(\log n)}$

Dijkstra의 알고리즘은 실제로 대기 정책이 적용될 때, 즉 최종 도착 시간이 줄어들면 노드에서 대기 할 때이 문제에 사용될 수 있습니다. 대기 정책이 없으면 상황이 훨씬 더 어려워집니다. 최단 경로는 단순하지 않을 수 있고, 최단 경로의 하위 경로는 하위 경로의 두 끝점 사이에서 최단이 아닐 수 있습니다. 무한 수의 에지를 통과하는 경로는 유한 한 도착 시간을 가질 수 있습니다. 자세한 내용 은 Orda and Rom의 논문을 다시 참조하십시오 .

— 창시 엔 치치 張顯之
소스

3

"최소 비 감소 경로"문제를 알고 있습니까? 이러한 상황을 모델링하기 위해 정의되었습니다. 그것은 당신의 공식에 비해 표현력이 약간 적지 만 빠른 알고리즘이 있습니다.

— 라이언 윌리엄스
소스

1

시간이 필수라고 가정하면 (대중 교통의 경우 의미가 있음) 시간이 지남에 따라 최대 흐름 (또는 가장 빠른 흐름)을 위해 Ford-Fulkerson이 제안한 것과 비슷한 시간 확장 네트워크를 만들 수 있습니다. 대신이 그래프에서 가장 짧은 경로를 찾으십시오.

— 헬륨
소스

시간의 함수로서 길이가 가장 짧은 거리 문제

자극

문제

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