SDP (Semidefinite Programming)의 이중성 차이는 언제 0입니까?

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나는 문헌에서 SDP 이중성 격차의 소멸에 대한 정확한 특성을 찾을 수 없었습니다. 또는 "강한 이중성"은 언제 유지됩니까?

예를 들어, Lasserre와 SOS SDP 사이를 오가는 경우 원칙적으로 이중성 차이가 있습니다. 그러나 어떻게 든이 차이가없는 "사소한"이유가있는 것 같습니다.

슬레이터의 상태 는 충분하지만 필요한 것은 아니며 모든 볼록한 프로그램에 적용됩니다. SDP의 경우 특히 더 강력한 것이 사실이기를 바랍니다. 이중성 격차의 소멸을 증명하기 위해 Slater의 조건 을 사용하는 명백한 예를 보게되어 기쁩니다 .

— 졸업생
소스

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SDP에는 더 복잡한 이원성 이론이 있습니다. Slater의 조건과 같은 '추가 조건'은 없습니다. 이것은 라마나 때문 입니다. (SOS와 관련된 또 다른 내용은 [KS12]를 참조하십시오 .) 솔직히 말해서, 나는이 논문들을 이해하려고 시도한 적이 없으며 누군가 나를 위해 바보로 만들면 행복 할 것입니다.

이 작업의 주목할만한 결과는 주어진 SDP가 실현 가능한지 테스트하는 문제가 그것이 coNP에있는 경우에만 NP에 있다는 것입니다. (그러나 전문가들은 문제가 전혀 없을 것으로 예상합니다. 알려진 최고의 상한은 PSPACE입니다.)

— 라이언 오도넬
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매우 유용한 답장을 보내 주셔서 감사합니다! 이것을 찾아 보자! (지난 몇 주 동안 Daniel Kane과의 논문을 통해 순 회로 하한선에서 작업을 시도한 것이 우연의 일치입니다! 그것은 교육적인 논문입니다! LTF를 위해 무엇을하는지 더 궁금합니다. RELU와 같은 현실적인 활성화)

— 대학원생

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표준 양식 의 SDP

min {t r (C^{T} X) : t r (A_{1}^{T} X) = b_{1}, \dots, t r (A_{m}^{T} X) = b_{m}, X ⪰ 0},

$\min\{ \mathrm{tr}(C^T X): \mathrm{tr}(A_1^T X) = b_1, \ldots, \mathrm{tr}(A_m^T X) = b_m, X \succeq 0\},$

X ≻ 0

$X\succ 0$

t r (A_{i}^{T} X) = b_{i}

$\mathrm{tr}(A_i^T X) = b_i$

{X : X_{1, 1} = 1, \dots, X_{n, n} = 1, X ⪰ 0}

$\{X: X_{1,1} = 1, \ldots, X_{n,n} = 1, X\succeq 0\}$

Lasserre / Sum of Squares 계층에 이르기까지 Lasserre는 다항식 제약 조건에 의해 결정된 실행 가능한 세트에 내부 지점이 있으면 이중성 차이가 없음을 보여주었습니다 . 이 백서 에서 더 약한 상태를 찾을 수 있습니다 .

— 사쇼 니콜 로프
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참조 주셔서 감사합니다! 변형 된 슬레이터의 상태도 SDP에 필요한 조건입니까? 아니면 다른 필요한 조건이 있습니까? (나는 곧 당신이 언급 한 논문들을 살펴볼 것입니다. 그러나 당신이 "약한 조건"이 무엇을 의미하는지에 대해 말할 수 있을지 궁금합니다. 두 번째 논문의 조건은 여전히 충분한 조건이며 필요하지는 않습니다. 조건이지만 첫 번째 논문의 충분한 조건보다 간단합니까?)

— gradstudent

이것은 표준 Slater 조건입니다. 저는 SDP에 특화되었으므로 PSD 제약 조건을 제외하고 모든 제약 조건이 적절하기 때문에 문제를 단순화합니다. 이 조건은 필요하지 않습니다. SoS 조건 중 어느 것도 필요하지 않다고 생각하지만 "약한"조건은 내부 지점이 필요하지 않으므로 확인하기가 더 쉽습니다.

— Sasho Nikolov

감사! 필요한 조건을 알 수 없습니까?

— gradstudent

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강력한 이중성이 유지되거나 {\ em all} 목적 함수에 대해 실패한 경우에 대한 좋은 (제 생각에는 ...) 생각이 있습니다.

반정도 {\ em 시스템}

$(P_{SD}) \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

$c$

$\sup c^T x \,\, s.t. \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

$c.$

$(P_{SD})$ $c$

$(P_{SD})$

https://arxiv.org/pdf/1709.02423.pdf

신문은 SIAM Review에서 곧 나옵니다. 나는 사람들이 그것을 좋아하기를 바랍니다 :)

— 지구 9
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