하드 카운팅 버전의 쉬운 문제

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Wikipedia 는 카운팅 버전이 어려운 반면에 의사 결정 버전은 쉬운 문제의 예를 제공합니다. 이들 중 일부는 완벽한 일치를 계산하여 -SAT에 대한 솔루션 수와 토폴로지 정렬 수를 계산합니다 . $2$

다른 중요한 클래스가 있습니까 (예 : 격자, 나무, 숫자 이론 등)? 그러한 문제에 대한 개요가 있습니까?

에는 하드 카운팅 버전 이있는 여러 유형의 문제가 있습니다. $P$ $\#P$

에서 자연 문제의 버전이 더 완전하게 이해 또는 일반 양자 완벽한 일치보다 간단 (에 대한 세부 사항을 포함하시기 바랍니다 이유는 간단 등 인 것으로 라도 유용 의 가장 낮은 클래스에서 -hierarchy 등) 다른 지역에 (숫자 이론, 격자와 같은) 또는 적어도 간단한 이분 그래프의 경우, 계산 버전이 -hard? $P$ $NC$ $\#P$

격자, 폴리 토프, 포인트 카운팅, 수 이론으로부터의 예가 이해 될 것이다 .

— 티....
소스

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아마도 당신이 원하는 자연 과 [신원 기능에 의해, {X [#SAT에서 감소에 의해, 문제는 #의 P-하드 아래는 [감소 0이 아닌 숫자로 곱 답변] HP-경 판정 문제가 있다는 것을]을하기 때문에, 문제를 : x는 1+ (number_of_variables_ ( )) 1 또는 [0 다음에 만족하는 할당 ]}은 # P-hard이며, 가장 엄격한 유형의 축소에서는 # P-hard이지만 결정 버전은 간단합니다.

ϕ

$\phi$

ϕ

$\phi$

@RickyDemer 작문은 간결합니다. 예, 나는 자연적인 문제를 원합니다.

— T ....

이분 그래프의 완벽한 일치를 완전히 이해하지 못합니까? 또한 문제에 대한 RNC2 알고리즘이 있습니다.

— Sasho Nikolov

1

그렇습니다. 결정적인 알고리즘 이 없습니다 .

N C

$NC$

— T ....

8

여기 정말 훌륭한 예가 있습니다 (편향 될 수 있습니다).

부분적으로 주문 된 세트가 주어진 경우 :
a) 선형 확장 (즉, 부분 주문과 호환되는 총 주문)이 있습니까? 사소한 : 모든 포즈는 최소한 하나의 선형 확장을가집니다.
b) 몇 개입니까? 이것을 결정하기위한 # P- 완료 (Brightwell and Winkler, Counting Linear Extensions , Order, 1991)
c) 그것들을 모두 빨리 생성 할 수 있습니까? 예, 일정한 상각 시간에 (Pruesse and Ruskey, 선형 확장을 빠르게 생성 , SIAM J Comp 1994)

— 가라 프 루세
소스

3

+1 : 저는 이것이 정말 훌륭한 예라고 생각합니다 (나 자신을 게시하려고 생각한 후이 답변을 보았습니다). 또한 누군가가 "적어도 하나의 다른 선형 확장 이 있는지 결정하는 것은 어떻습니까?"라고 말하지 않기 위해 , 그 문제는 완전히 사소합니다. 총 주문에는 1 개의 확장이 있고 다른 모든 포즈는> 1입니다. 비교할 수없는 요소가 정확히 한 쌍인 경우 발생합니다). 실제로, 최대 7 개의 선형 확장을 가진 포즈의 완전한 분류가 있습니다 (Hamamura -Iwata, IPL 2011 참조 ).

— Joshua Grochow

이것은 실제로 좋은 예입니다. 그러나 동일한 종류의 속성을 즐기는 훨씬 "단순한"문제가 있습니다 (이러한 속성이 거의 증명하기가 쉽지 않다는 점에서 더 간단합니다). DNF의 만족스러운 할당 횟수 계산 : a) 비어 있지 않은 모든 DNF가 만족 가능 그것에 대해 생각하기 위해)

— holf

DNF를 만족하는 할당이 일정한 할부 상환 시간 (CAT)으로 생성 될 수 있는지 알고 싶습니다. 1994 년 Frank와의 저의 논문에서 선형 확장은 계산이 어렵고 상각 될 때 (CAT) 생성이 빨라지는 최초의 "자연적으로 정의 된"객체였습니다. DNF 솔루션도 이에 대한 후보로 보입니다. 누구든지 참조가 있습니까?

— Gara Pruesse

@GaraPruesse 나는 그것에 대한 언급이 없습니다. 모노톤 -DNF의 경우, 이는 일련의 타격 그래프를 열거하는 것과 동일하며 지연을 개선하는 몇 가지 기술은 Keisuke Murakami와 Takeaki Uno의 "대규모 하이퍼 그래프를 이중화하기위한 효율적인 알고리즘"에 나와 있습니다. dl.acm.org/citation.cfm? id = 2611867 . CAT를 제공하는지 확인해야합니다. DNF의 경우, 직관은 작은 조항이 있으면 이미 무차별 강제력에 대한 충분한 솔루션을 가지고 있다는 것입니다. 그렇지 않으면, 당신은 큰 절을 가지고 있으며, 충돌 할 가능성이 높으며 CAT 알고리즘을 설계하는 데 사용될 수 있습니다.

— holf

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숫자 이론의 흥미로운 예는 양의 정수를 4 제곱의 합으로 표현하는 것입니다. 이것은 임의 다항식 시간에서 비교적 쉽게 수행 할 수 있습니다 ( https://dx.doi.org/10.1002%2Fcpa.3160390713의 Rabin에 대한 1986 기사 참조 ). 정확하게 기억하면 결정 론적 다항식 시간조차 있습니다. 해결책. 그러나 이러한 표현의 수를 세면 제곱합 함수 을 계산할 수 있습니다 . 이는 인수 분해 과 동등한 임의 다항식 시간 입니다. 따라서 계산 문제는 어려울 것입니다. $\sigma(n)$ $n$

— 제프리 샬릿
소스

"카운팅 문제는 아마 어렵다"당신은 아마 어렵다는 것을 의미 합니까? 증거가 있습니까?

# P

$\#P$

— T ....

"아마도 어렵다"는 것은 정수 인수 분해와 동등한 임의 다항식 시간이라는 것을 의미합니다.

— Jeffrey Shallit

3

따라서 명시 적으로 말하면 문제는 # P-hard 가 아닙니다 (모든 지옥이 풀리지 않는 한).

— Emil Jeřábek은 Monica

@JeffreyShallit 예제가 있습니까?

# P

$\#P$

— T ....

"합니까를 : 나는 다음은 더 간단한 예를 생각 보다 적절한 제수 커야 "대 "보다 더 적절한 약수 얼마나 많은 않는 이 있습니까?". 의사 결정 버전은 " is composite" 와 동일 하므로 에 있지만 계수 버전은 팩토링보다 쉽지 않습니다.

n

$n$

1

$1$

1

$1$

n

$n$

n

$n$

P

$P$

— Dan Brumleve

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Graph Theory의 아주 훌륭하고 간단한 예는 무 방향 그래프의 Eularian 회로 수를 계산하는 것입니다.

의사 결정 버전은 쉽습니다 (... 및 Königsberg 의 일곱 다리 문제 는 해결책이 없습니다 :-)

계산 버전은 # P-hard : Graham R. Brightwell, Peter Winkler : Eulerian Circuits 계산은 # P-Complete 입니다. ALENEX / ANALCO 2005 : 259-262

— 마르 치오 데 비아시
소스

그 종이의 "우리의 접근 방식은 오일러 회로를 계산 오라클의 도움으로 그것을 보여주는 것입니다, 튜링 기계는 ... 수"우리는 수를 계산하려면 의 오일러 방향의 . "단락 브레이크"우리는 임의의 홀수 프라임 구성 , 그래프 천체의 그 번호에 상당 모듈러스 당사 간의 모든 소수 (P)에 대해이 과정을 반복한다. "및" 및 , 여기서 , ... "는 확실히 -쿼리 감소 보다는 병렬 감소 만 제공 할 것을 제안합니다 .

N

$N$

G

$G$

p

$p$

G_{p}

$G_p$

N

$N$

p

$p$

m

$m$

m^{2}

$m^2$

| E | = m

$|E| = m$

m^{ϵ}

$m^{\epsilon}$

@MarzioDeBiasi는 NC에서 Eulerian 회로 결정입니까?

— T ....

1

@AJ. 각 노드의 정도의 패리티를 계산하고 모두 짝수인지 확인하면됩니다. NC에있는 것 같습니다.

— Sasho Nikolov

4

크기 공식 또는 깊이 의 선형 크기 회로를 사용하여 비트 의 패리티를 취할 수 있습니다 . 따라서 그래프가 인접 행렬로 제공되면 각 행의 패리티를 계산하고 부정하고 AND를 취하십시오. 그리고 비트 선형 사이즈 식으로 수행 할 수 있으므로 전반적으로는 얻을 크기 부울 식 및 깊이의 크기 부울 회로 오버 ( AND- 또는 기초). 따라서 문제는 실제로 있습니다.

n

$n$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$

n

$n$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$

{N C}^{1}

$\mathsf{NC}^1$

— Sasho Nikolov

2

실제로 문제는 있습니다.

{A C}^{0} [2]

$\mathrm{AC}^0[2]$

— 에밀 예라 벡은 모니카 지원

6

두 번째 질문과 관련하여 Monotone-2-SAT와 같은 문제 (절에 따라 최대 2 개의 긍정적 인 리터럴을 갖는 CNF 공식의 만족도 결정)는 사소합니다 (공식이 비어 있는지 여부를 확인해야 함). 계산 문제는 # P-hard입니다. 그러한 공식의 만족스러운 과제의 수를 근사하는 것조차 어렵다 (근사 적 추론의 경도에 관한 Dan Roth, 인공 지능, 1996 참조).

— 홀프
소스

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에서 [카얄, CCC 2009] : 명시 적으로 어떤 점에서 섬멸 다항식을 평가

추상에서 : ``이 효율적으로 수행하지만, 객체의 실제 계산이라도 유용 어렵다 수있는 객체 (우리의 경우에 섬멸 다항식)의 존재를 결정하는 유일한 천연 계산 문제는 ''.

하자 필드 될 의 세트 일 - 많은 학위 - 위에 -variate 다항식 -annihilating 다항식 임의 (사소) 세인트 $\mathbb{F}$ $\vec{f} = (f_1, ..., f_k)\in\mathbb{F}[x_1, ..., x_n]$ $k$ $d$ $n$ $\mathbb{F}.$ $\vec{f}$ $A$ $A(f_1, ..., f_k) = 0.$

결정은 간단하다 위에 어떤 필드 및 대한 다항식 - 만약 등 섬멸있다 대 . ((차원 계산 인수를 통해)) $k$ $(f_1, ..., f_k)$ $k \ge n+1,$ $A$ $(f_1, ..., f_k)$

$p,$ $(f_1, ..., f_k)\in\mathbb{Z}[x_1, ..., x_n]$ $A(t_1, ..., t_k)\in\mathbb{Z}[t_1, ..., t_k],$ $A(0, ..., 0)\bmod{p}.$

ANNIHILATING-EVAL 은 -hard입니다. 또한 소멸 다항식 는 붕괴 되지 않으면 작은 회로 표현을 갖지 않습니다 . $\#\mathsf{P}$ $A(t_1, ..., t_k)$ $\mathsf{PH}$

— 다니엘 에이 폰
소스

1

Marzio의 사례와 마찬가지로, 논문 15.2의 증거는 -쿼리 감소 보다 평행 감소시 경도 만 표시하는 것으로 보입니다 .

m^{ϵ}

$m^{\hspace{.02 in}\epsilon}$

1

내가 찾을 수있는 리소스는 모두 정의에 동의하지 않는 것 같습니다. AE가 귀하의 답변이 논의하는 문제가되게하십시오. (계속 ...)

1

나는 그들이 사용하는 더 정확하게 무엇을베이스 클래스를 해결하기 위해 시도하지 않은 (계속 ...)하지만, 그 결과는 더 나은 #P = 이상이라면 매우 놀랄 것 DLOGTIME-uniform TC . (계속 ...)

(

$\big(\hspace{-0.07 in}$

^{0}

$^0$

)

$\hspace{-0.06 in}\big)$

^{| |}

$^{\hspace{-0.06 in}||\hspace{-0.06 in}}$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt{n}]}

$^{\hspace{-0.05 in}[\sqrt{n}]}$

1

(계속 ...) 멀리 볼 수있는 바와 같이, 그것은 않는 하지 따르 LWPP MP poly .

\subseteq

$\subseteq$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt[3]{n}]}

$^{[\sqrt[3]{n}]}$

/

$\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.04 in}$

1

더 일반적으로, 즉 임의의 ( 보다 작은 경우 )의 경우, 야곱의 기준 때문에 결정이 쉽습니다. (Jacobian 기준은 특성> 에서만 작동합니다 . 작은 양의 특성에서는 Mittman-Saxena-Scheiblechner 로 인해 수정 된 Jacobian 기준이 있지만 분명히 결정을위한 알고리즘 ...)

k

$k$

n

$n$

m a x d e g f_{i}

$max deg f_i$

{N P}^{# P}

$\mathsf{NP}^{\mathsf{\# P}}$

— Joshua Grochow