역 그래프 스펙트럼 문제?

일반적으로 그래프를 구성한 다음 인접 행렬 (또는 Laplacian 과 같은 일부 친척 ) 고유 값 분해 ( 그래프 의 스펙트럼 이라고도 함 )에 대한 질문을합니다.

그러나 반대 문제는 어떻습니까? 감안 고유 한이 (효율)이 스펙트럼을 갖는 그래프를 찾을 수 있는가? $n$

나는 일반적으로 이것이 어렵다고 생각하지만 (GI와 동일 할 수 있음) 일부 조건을 약간 완화하면 어떻게 될까요? 여러 고유 값이없는 조건을 만들면 어떻게됩니까? 어떤 거리 메트릭으로 "클로즈"스펙트럼을 갖는 그래프를 허용하는 것은 어떻습니까?

모든 언급이나 아이디어는 환영받을 것입니다.

편집 :

Suresh가 지적했듯이 자체 루프가있는 무 방향 가중치 그래프를 허용하면이 문제는 매우 사소 해집니다. 무 방향, 무가 중 단순 그래프 세트에 대한 답변을 얻고 싶었지만 간단한 무가 중 직접 그래프에도 만족합니다.

— 사용자 834
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나는 당신이 질문을 '자체 루프가없는 무가 중 비 방향 그래프'나 그와 비슷한 것으로 수정해야 할 수도 있다고 생각합니까? 필요한 고유 값으로 대각선 행렬을 구성하고 가중치가 적용된 자체 루프가있는 연결이 끊어진 그래프라고 선언 할 수 있습니까?

— Suresh Venkat

더 간단한 질문 (답을 모르겠다)은 몇 가지 고유 값이 주어진 간단한 연결된 그래프를 만드는 방법입니다.

— Yaroslav Bulatov

질문을 표현하는 다른 방법 (단순한 무 방향 그래프가있는 버전)은 n 개의 실수 (일부 형식)가 주어지면 n 개의 고유 값이 다음과 같이 대각선이 0 인 n x n 대칭 0/1 행렬이 있는지 여부를 결정합니다 주어진 숫자.

— Ito Tsuyoshi

@Yaroslav : 확실하지는 않지만 모든 고유 값이 제공되는 경우보다 문제가 더 어려워집니다.

— Ito Tsuyoshi

작은 관찰 : 고유 값에 대한 제한이없는 경우, 문제는 실제로 어렵습니다 (알고리즘 부분은 포함하지 않음) . 이는 고유 값이 모두 알려진 57- 정규 무어 그래프에 존재하지 않음을 의미하기 때문 입니다.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

답변:

"그래프 스펙트럼 이론의 최근 결과"섹션 3.3의 Cvetcovic 등 은 일부 특수한 경우에 스펙트럼이 주어진 그래프를 구성 하는 알고리즘을 검토합니다.

— 야로슬라프 불라 토프
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주어진 스펙트럼을 가진 그래프가 존재하는지 묻는 것조차 어려운 질문입니다. 이것은 스펙트럼이 존재하는 경우, 지름 5 직경 2 및 차수 3250의 그래프가 존재 하는지를 결정 하는 열린 문제 에 의해 목격된다 .

— 제 네즈
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귀하의 질문을 정의하는 데있어 또 다른 장애물은 등방성 (동일한 고유 값)이지만 비 동형 그래프라는 것입니다. 이 경우 고유 값 목록이 주어지면 어느 그래프를 원하십니까? 어쩌면 알고리즘이 그러한 비 등방성 그래프 세트 중 하나의 임의의 요소를 반환하도록 하시겠습니까?

— 다바 콘
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등거리의 그래프 공간에서 샘플링 라인을 따라 무언가를 생각하고 있었지만 이것은 GI 등가 문제로 빠르게 내려간 것처럼 보입니다 (위의 내 의견). 간단하게하기 위해, 고유 한 모든 고유 값 (ICC가 고유 한 그래프를 보장하는 경우)으로 제한 할 수 있지만, 실제로 알려진 것이 무엇인지 확인하려고합니다.

— user834

나는 별개의 고유 보장하지만 reconstructibility 생각하지 않는다, 여기에 7 개 노드 이상 isospectral 그래프의 일부 스펙트럼이다 yaroslavvb.com/upload/save/cstheory-isospectral.png

— 야로 슬라브 Bulatov

나는 무작위 원소 공식을 좋아합니다. GI와 동등한 지 알고 싶습니다. 랜덤 요소 공식에 관심이있는 한 가지 이유는 독특한 게임에서 Arora 및 Steurer와 함께 내 논문에서 특정 스펙트럼을 가진 그래프가 작은 세트의 확장기인지 여부에 대한 질문입니다. 직관적으로,이 스펙트럼을 갖는 랜덤 그래프가 모든 세트 크기에 대해 가능한 최고의 확장기가되기를 희망 할 수 있으므로 역 스펙트럼에 대한 통찰력이 유용 할 수 있습니다.

— 보아스 바락

@ Yaroslav : 그 링크에 감사하고 나를 고쳐 주셔서 감사합니다!

— user834

@ user834 : Re : GI와 동등한 문제에 대한 의견. 경계 고유 값 다중도를 갖는 그래프, 특히 다중 고유 값이없는 그래프의 동형을 결정하는 것은 다항식 시간으로 수행 될 수 있습니다.

— Joshua Grochow