중지 문제의 진리표의 Kolmogorov 복잡성이 무증상으로 알려져 있습니까?

하자 길이의 문자열을 나타내는 길이의 입력에 대해 정지 문제의 진리표에 해당하는 .$HALT_n$$2^n$$n$

Kolmogorov의 복잡성 의 시퀀스 가 이면, 어드바이스 문자열 중 하나는 무한정 자주 사용되며, 해당 문자열을 가진 TM은 균일하게 무한정 자주 해결할 수 있습니다. 그렇지 않습니다.$K(HALT_n)$$O(1)$$HALT$

대각선 화 인수를 자세히 살펴보면 실제로 이 이므로 사소한 상한과 함께 다음과 같이 나타납니다.$K(HALT_n)$$n - \omega (1)$

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq 2^n + O(1)$

이 하한은 최근 Fortnow and Santhanam`` 균일 한 복잡성 클래스를위한 새로운 비 균일 하 한계 '' 논문의 서두에 언급되어 있으며 이는 민속에 기인 한 것입니다. 기본적으로, 어드바이스 문자열이 입력 길이보다 짧은 경우에도 그 정도의 어드바이스를 가진 머신에 대해 대각선으로 기울일 수 있습니다.

(편집 : 실제로, 이전 버전의 논문에서 그들은 민속에 기인한다고 생각합니다. 지금은 그것이 단지 Hartmanis와 Stearns의 적응이라고 말합니다.)

실제로,이 논문에서 그들은 시간 계층 구조 이론에 관심을 가지고 있으며 , 제한되지 않은 콜로 모고 로프 (Colmogorov) 복잡성보다는 시간 단계 의 자원 경계와 관련된 것들을 기술 한다. 그러나``민속 ''결과에 대한 증거는 무제한 경우와 동일합니다.$t$

그들이 조언 하한에 관심을 갖는 이유 중 하나는 그것이 회로 하한과``경도 대 무작위성 ''패러다임의 무작위 화와 관련되어 있기 때문입니다. 예를 들어, 시간에 정식 문제 풀 수 조언을 필요로 진리표가 순서 시간에 계산 될 하는 경우, 그 진실 테이블이 회로를 필요는 없습니다 크기는 이므로 Impagliazzo와 Wigderson의 유명한 결과로 입니다.$2^n$$2^{\epsilon n}$$2^{\epsilon n}$$2^{\epsilon n}$$P = BPP$

에 대해 묻는 것은 그러한 응용 프로그램을 가지고 있지 않지만 해결하기가 더 쉽습니다. 또한 시간 제한 매개 변수에 대한 의존성이 없어서 설명하기가 더 쉽습니다. 이미 연구되었을 수도있는 다소 자연스러운 문제입니다.$K(HALT_n)$

``민속 ''결과 외에 에 더 나은 하한 또는 상한이 있습니까? 하한 또는 상한이 꽉 찼습니까?$K(HALT_n)$

참고 :에 대한 또 다른 좋은 게시물이 회로 복잡성 인수가 여기 에밀 예라 벡에 의해 스케치가 거의 최대로 볼 수있는 정지 문제의이 : /mathpro/115275/non-uniform-complexity 중단 문제

기본적으로이 클래스는 클래스 내에서 사전 순으로 (큰) 회로 복잡도의 사전 순으로 진리표를 계산할 수있는 트릭을 사용합니다 . 그리고이 계산을 중지 문제에 대한 쿼리로 줄일 수 있으며, 이러한 축소는 회로 복잡성이 낮습니다. 따라서 는 큰 회로 복잡도를 가져야합니다. 그렇지 않은 경우이 기능도 복잡도가 낮습니다.$E^{NP^{NP}}$$HALT$

관련이있는 것처럼 보이지만이 인수가 대해 아무것도 제공하지 않는다고 생각합니다 . ( 회로 복잡도에 의해 암시되는 것처럼 의 시간 제한 Kolmogorov 복잡도 는 클 수 있지만 시간 제한이 완화되면 복잡성이 급격히 떨어집니다.) 비슷한 주장은 우리가 오라클은 중지 문제로 전환 한 후 사전 식으로 압축 할 수없는 첫 번째 문자열에 대한 임의 액세스 쿼리를 지원할 수있었습니다. 그러나 일련의 적응 형 쿼리를 작성해야하며, 내가 아는 한이를 로 직접 줄일 수는 없습니다 . 또한 쿼리 문자열은 기하 급수적으로 커야하므로 복잡도가 이상인 것으로 표시됩니다.$K(HALT_n)$$HALT$$HALT$$HALT_{2^n}$$2^n$ ``민속 ''주장을이기는 것은 아닙니다.

Kolmogorov의 복잡성에 대한 나의 배경은 불행히도 다소 약합니다 이미 다른 주장으로 알려져 있습니까? 아마도 정보 대칭을 사용하는 트릭이 있습니까?$K(HALT_n)$

아니면 내가 놓친 더 좋은 상한이 있습니까?

이상하게 보일 수있는 한 가지는 설정으로 다시 전환 할 때 순진 알고리즘보다 시간을 줄일 때만 조언을 얻을 수 있다는 것입니다. 순진한 알고리즘을 실행할 충분한 시간이 있으면 분명히 압축 가능합니다. 의 경우 ,이 때문에 아마도 우리가 대적으로 시간``같은 ''양이 전혀 바인딩 시간 없다, 그것은 최대한 비압축성 될 것으로 기대 안된다. 그럼에도 불구하고 대각선 화는 무제한 설정에서도 작동합니다. 어떤 기계에도 해당 기계와 동일한 기능을 수행하고 다른 기능을 수행하는 기계가있는 것 같습니다. 따라서 항상 당신보다 많은 시간을 가진 사람이 있습니다. 아마도 적은 항상 우리보다 시간이 더 많을 것입니다.$DTIME$$K(HALT_n)$

흠, 너무 어렵지 않은 일치하는 상한이 실제로 있음이 밝혀졌습니다.

유한 시간 내에 진리표 을 생성하기 위해 필요한 유일한 정보는 기술 길이가 최대 인 기계의 수뿐입니다 . 이 수는 여야하므로 약 비트로 표현할 수 있습니다 . 그런 다음 모든 기계를 병렬로 시작하여 많은 기계가 정지 할 때까지 실행할 수 있으며 나머지는 정지하지 않는 것으로 알려져 있습니다.$HALT_n$$n$$2^{n}$$n$

그래서 저는 민속 논증이 빡빡하다고 생각합니다. 우리는

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq n + O(1)$

및 에만 첨가제까지 잘 정의 된 어쨌든, 보편 튜링 기계의 우리의 선택에 따라.$K(HALT_n)$$O(1)$

NB : 귀여운 보너스로,이 증명은 최대 의 설명 길이를 가진 기계의 수에 해당하는 비트 문자열 이 압축 할 수없는 문자열 인 것을 보여줍니다. 하한과 모순됩니다.$n$$n$